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椭圆和抛物方程解的水平集的微观凸性

中国科学：数学 2018年第10期48卷 1205-1218页

作者：陈传强麻希南浙江工业大学应用数学系杭州310023 中国科学技术大学数学科学学院合肥230026

偏微分方程解的水平集是一个重要研究对象,与偏微分方程解的存在性、唯一性和正则性紧密相关.本文介绍椭圆和抛物方程解的水平集的微观凸性原理.

关键词：水平集常秩定理微观凸性

二维特殊Lagrangian方程解的幂凸性

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二维特殊Lagrangian方程解的幂凸性

作者：周歧兰州大学

学位级别：硕士

对于给定凸区域上椭圆偏微分方程的边值问题,边界的凸性是否会对解的凸性产生影响?本文主要研究了二维特殊Lagrangian方程Dirichlet问题解的幂凸性.关于完全非线性椭圆方程解的幂凸性问题,之前已经知道了三维2-Hessian方程解的幂凸性,... 详细信息

对于给定凸区域上椭圆偏微分方程的边值问题,边界的凸性是否会对解的凸性产生影响?本文主要研究了二维特殊Lagrangian方程Dirichlet问题解的幂凸性.关于完全非线性椭圆方程解的幂凸性问题,之前已经知道了三维2-Hessian方程解的幂凸性,我们现在给出了一个新的例子来继续充实这一主题.证明的关键包含了微观凸性原理和形变方法.具体地说,本文主要结果如下:令Ω为R2中的有界光滑严格凸区域.令θ ∈(0,π/2)为常数.设(?)为Dirichlet 问题的唯一解,其中λ=(λ1,λ2)为解的Hessian矩阵D2u的特征值,那么函数(?)在Ω上是严格凸的.

关键词：幂凸性特殊Lagrangian方程常秩定理

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二维黎曼流形上极大类空超曲面的几何性质

二维黎曼流形上极大类空超曲面的几何性质

作者：王建春曲阜师范大学

学位级别：硕士

在数学物理等学科中,椭圆偏微分方程应用非常广泛,其中极大类空超曲面方程是椭圆偏微分方程最经典的代表之一.本文研究的区域为二维黎曼流形,考虑其上的极大类空超曲面方程水平集的凸性,最终刻画流形上极大类空超曲面的最速下降线的曲... 详细信息

在数学物理等学科中,椭圆偏微分方程应用非常广泛,其中极大类空超曲面方程是椭圆偏微分方程最经典的代表之一.本文研究的区域为二维黎曼流形,考虑其上的极大类空超曲面方程水平集的凸性,最终刻画流形上极大类空超曲面的最速下降线的曲率估计.论文将主要由下面几部分构成:第二部分,我们给出在证明过程中用到的符号及预备知识,尤其是我们使用水平集的曲率及最速下降线曲率的表示形式,关于凸水平集的常秩定理,极值原理这三个常用的理论.第三部分,我们得到水平集的严格凸性.第四部分,我们推导出极大类空超曲面的最速下降线的曲率估计.本文主要结果如下:定理1.设(M2,g)是具有常截面曲率e的空间形式,Ω0,Ω1是M2中的有界光滑严格凸区域,且(?)1(?)Ω0.假设定义在Ω=Ω0\(?)1上的极大严格类空超曲面方程(?)（1.1）在(?)有唯一光滑严格类空间解u.那么在整个(?)上,▽u ≠ 0且u的所有水平集关于▽u是严格凸的.定理2.设M2是常截面曲率为∈的黎曼流形,Ω(?)M2,u是Ω中方程(1.1)的解,令J是u的最速下降线曲率,设φ=|▽u|-1J,则(?)这里,aij =(1-|▽u|2)δij+uiuj.

关键词：水平集最速下降线曲率估计常秩定理极大类空超曲面

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扭曲刚性方程解的水平集的凸性估计

扭曲刚性方程解的水平集的凸性估计

作者：王楠曲阜师范大学

学位级别：硕士

方程的解的几何性质是椭圆型偏微分方程中的基本问题之一,而凸性作为几何对象的一个重要特征,长期以来都是椭圆型偏微分方程中重要的研究主题Saint-Venant扭转问题是材料力学和弹性力学中常见的问题,而解决Saint-Venant扭转问题的关键... 详细信息

方程的解的几何性质是椭圆型偏微分方程中的基本问题之一,而凸性作为几何对象的一个重要特征,长期以来都是椭圆型偏微分方程中重要的研究主题Saint-Venant扭转问题是材料力学和弹性力学中常见的问题,而解决Saint-Venant扭转问题的关键就是求解它的应力函数所满足的偏微分方程Saint-Venant扭转问题应用的范围很广,小到螺丝钉和金属丝的扭转,大到工程构件和桥梁建筑的扭转,都和人们的日常生活密切相关.因此,研究Saint-Venant扭转问题有着重要的意义及必要性.而本文所研究的对象就是与Saint-Venant扭转问题有关的一个方程.水平集的凸性是一个非常精细的问题,本文对方程△u=2的解的水平集的凸性作了一系列的研究.首先说明方程△u=2的解的水平集是凸的,然后利用常秩定理说明方程△u=2的解的水平集是严格凸的,从而对方程△u=2的解的水平集做一个定量估计.最后一部分是本文最核心的部分,主要说明是凹的.本文主要的定理表述如下：定理1.1.设Ω是R2中一有界的光滑区域且u是椭圆偏微分方程△u=2在Ω中的一个解.另设在区域Ω上有、▽u、≠0,并且u的水平集沿外法向▽u严格凸.进一步可设K是u的水平集的曲率.那么函数、▽u、5K在(?)Ω上达到极小值.定理1.2.设Ω是R2中有界的光滑区域为方程在Ω中的一个解.假设在Ω上有|▽u|≠0,令且u的水平集是严格凸的,对于函数有

关键词：水平集常秩定理凸性

二维空间形式上极大严格类空超曲面水平集的凸性

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二维空间形式上极大严格类空超曲面水平集的凸性

作者：刘笑曲阜师范大学

学位级别：硕士

对于一个椭圆偏微分方程,它的解的几何性质具有很高的研究价值,特别是对其解的水平集进行的研究.本文主要是利用常秩定理和形变过程对定义在二维空间形式上的极大严格类空超曲面的水平集的几何性质进行了讨论.最终我们得到一些几何性质... 详细信息

对于一个椭圆偏微分方程,它的解的几何性质具有很高的研究价值,特别是对其解的水平集进行的研究.本文主要是利用常秩定理和形变过程对定义在二维空间形式上的极大严格类空超曲面的水平集的几何性质进行了讨论.最终我们得到一些几何性质,包括水平集的正则性,严格凸性和曲率估计.本论文主要分为五个部分:第一部分,我们介绍了有关这方面的研究历史以及与此相关的结论.然后给出了本篇论文中的两个定理,定理1.4与定理1.6.在第二部分,我们给出了在证明过程中会使用到的符号和预备知识.特别地,我们给出黎曼流形上的极大类空图的方程和其解的水平集的曲率.在第三部分,我们将证明常秩定理来描述凸水平集的一个性质.在第四部分,我们开始证明定理1.4.在第五部分,我们开始计算定理1.6.本文主要的两个定理如下:定定理1.4设(M,g)为具有常截面曲率?的空间形式,?和?是M内有界光滑严格凸区域,(？)(？)?.设下面这个定义在?=?\(？)上的极大严格类空图方程(？)(1.3)在(？)上有一个光滑严格类空解u,则在整个(？)上▽u≠0,且u的水平集关于▽u都是严格凸的.定定理1.6设u是定义在具有常高斯曲率∈的黎曼流形M上的方程(1.3)的解.设k为u的水平集的测地曲率.对于φ=(?),有下列关系成立.(?),其中a=(1-|▽u|)δ+uu为极大曲面算子.

关键词：水平集极大严格类空超曲面常秩定理

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指数调和函数水平集的凸性

指数调和函数水平集的凸性

作者：孙雪葳曲阜师范大学

学位级别：硕士

解的水平集是椭圆偏微分方程理论的一个重要研究话题,对其几何性质的研究主要分为正则性,凸性,严格凸性和曲率估计四个方面.本文主要利用常秩定理和强极大值原理,结合连续性方法,证明了凸环上指数调和函数水平集的正则性和严格凸性,并... 详细信息

解的水平集是椭圆偏微分方程理论的一个重要研究话题,对其几何性质的研究主要分为正则性,凸性,严格凸性和曲率估计四个方面.本文主要利用常秩定理和强极大值原理,结合连续性方法,证明了凸环上指数调和函数水平集的正则性和严格凸性,并得到了它的曲率估计.本文章节安排如下:第一节介绍了水平集凸性的研究历史和本文的研究结果;第二节给出了本文所要用到的符号和预备知识;第三节证明了指数调和函数的常秩定理;第四节证明了指数调和函数水平集的正则性和严格凸性;第五节对指数调和函数的水平集进行曲率估计.本文的主要结论如下:定理1:设Ω0和Ω1是R2内有界光滑的严格凸区域,Ω1∈Ω0.假设β>0,设下面定义在Ω=Ω0\Ω1上的问题(?)存在光滑解u,那么在Ω上Du≠0且u的水平集相对于Du都是严格凸的.定理2:设u定义在R2上是上述定理1中问题的解,k是u的水平集的曲率.假设β>0,则对于φ=e-β/2|Du|2k/|Du|,有(?)成立,其中aij=δij+βuiuj.

关键词：水平集凸性指数调和函数常秩定理曲率估计

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高斯曲率流方程平行解的水平集的几何性质

高斯曲率流方程平行解的水平集的几何性质

作者：刘生杰曲阜师范大学

学位级别：硕士

在椭圆偏微分方程中,方程解的几何性质一直以来都是人们感兴趣的问题.常秩定理的精妙理论对偏微分方程解的几何性质,尤其是对解的凸性的研究通常具有重要意义.而解的凸性研究中,解的水平集的凸性的研究是最受关注的问题之一.本文分为两... 详细信息

在椭圆偏微分方程中,方程解的几何性质一直以来都是人们感兴趣的问题.常秩定理的精妙理论对偏微分方程解的几何性质,尤其是对解的凸性的研究通常具有重要意义.而解的凸性研究中,解的水平集的凸性的研究是最受关注的问题之一.本文分为两个主要部分：一是讨论在二维流形上偏微分方程△u=2的解的某个函数v=g(u)的Hessian矩阵的秩是常数;二是研究在平面区域上高斯曲率流方程平行解的水平集的几何性质.本文的主要定理为：定理1.设Ω为s2中一区域,u∈C4(Ω)满足方程△u=2,令v=-(-u)1/2,若在区域Ω中v的Hessian矩阵是半正定的,即w=：(vij)≥0,则在Ω中此矩阵的秩是常数.定理2.若R2中的区域Ω是有界光滑的,且v∈C4(Ω)n C2(Ω)是方程在区域Ω中的一个解,假设对任意x∈Ω,都有|▽v|≠0,令若对任意的t,水平集rt是严格凸的,则函数是一个凸函数.这里b00是曲线的曲率,h是水平集的支撑函数.

关键词：常秩定理水平集凸性

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一类非线性椭圆算子的特征值问题及凸性研究

一类非线性椭圆算子的特征值问题及凸性研究

作者：黄九洲中国科学技术大学

学位级别：硕士

特征值与凸性问题是非线性椭圆方程中的两个重要问题。前者是拉普拉斯方程特征值问题的自然推广,后者建立了分析不等式与几何性质之间的联系。本文首先利用先验估计与上下解的方法研究了一种重要的非线性椭圆算子的特征值问题解的存在... 详细信息

特征值与凸性问题是非线性椭圆方程中的两个重要问题。前者是拉普拉斯方程特征值问题的自然推广,后者建立了分析不等式与几何性质之间的联系。本文首先利用先验估计与上下解的方法研究了一种重要的非线性椭圆算子的特征值问题解的存在唯一性。然后又建立了该特征值问题解所满足的常秩定理,并利用常秩定理和形变的方法得到了严格凸区域上该特征值问题解的某种严格凸性。全文共分3章。第一章:介绍非线性椭圆方程特征值问题和凸性问题的研究背景,然后介绍后文所需基础知识以及本文的主要结果;第二章:对一类退化的椭圆方程建立解的先验估计,然后用上下解的方法得到特征值问题解的存在性,并用反证法得到解的唯一性;第三章:建立特征值问题解所对应的常秩定理,再利用所得的常秩定理和形变方法得到解的某种严格凸性。

关键词：海森算子特征值问题常秩定理严格凸性

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特征值的弱Harnack不等式及其应用

特征值的弱Harnack不等式及其应用

作者：闫变莲湖南大学

学位级别：硕士

在偏微分方程的研究中,解的凸性是一个经典而重要的课题.常秩定理是研究凸性的强有力的工具,它不仅能够处理欧氏空间中的方程,还可以处理一般流形上涉及对称曲率张量的各种非线性微分方程.此外,应用常秩定理还能够解决一些经典的几何问... 详细信息

在偏微分方程的研究中,解的凸性是一个经典而重要的课题.常秩定理是研究凸性的强有力的工具,它不仅能够处理欧氏空间中的方程,还可以处理一般流形上涉及对称曲率张量的各种非线性微分方程.此外,应用常秩定理还能够解决一些经典的几何问题,如Christoffel-Minkowski问题和预定Weingarten曲率问题.通常人们利用强极值原理证明常秩定理.近期,Székelyhidi和Weinkove提出了一种新的证明思路,他们引入了特征值的线性组合作为辅助函数,建立了关于Hessian矩阵特征值的弱Harnack不等式,从而得到了一类完全非线性椭圆方程的定量版本的常秩定理.本文的主要工作是将Székelyhidi和Weinkove的证明思路推广,得到相关常秩定理的新证明.主要内容分为两个部分,具体如下.第一部分研究一类拟线性椭圆方程的拟凸解.我们简单地改进了特征值的一阶导数估计得到更精确的结果.随后对满足结构性条件的方程,利用一阶导数和二阶导数估计,建立了关键的椭圆型微分不等式.再运用关于非负半凹上解的弱Harnack不等式,我们得到了Weingarten张量的特征值的弱Harnack不等式.作为直接推论得到了这一类方程拟凸解的水平集的常秩定理.第二部分研究一类完全非线性抛物方程的凸解.首先,我们运用近似逼近的方法证明抛物方程非负半凹上解的弱Harnack不等式.由于空间Hessian矩阵的特征值的导数估计与椭圆方程中的估计一致,我们类似地建立了抛物型微分不等式,随后将Székelyhidi和Weinkove提出的建立特征值的弱Harnack不等式的技巧推广到抛物方程中,得到空间Hessian矩阵的特征值的弱Harnack不等式,这个结果蕴含着空间Hessian矩阵的秩关于时间单调递增.

关键词：弱Harnack不等式常秩定理水平集空间Hessian矩阵