二维空间形式上极大严格类空超曲面水平集的凸性

作     者：刘笑 

作者单位：曲阜师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：王培合

授予年度：2018年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：水平集 极大严格类空超曲面 常秩定理 

摘      要：对于一个椭圆偏微分方程,它的解的几何性质具有很高的研究价值,特别是对其解的水平集进行的研究.本文主要是利用常秩定理和形变过程对定义在二维空间形式上的极大严格类空超曲面的水平集的几何性质进行了讨论.最终我们得到一些几何性质,包括水平集的正则性,严格凸性和曲率估计.本论文主要分为五个部分:第一部分,我们介绍了有关这方面的研究历史以及与此相关的结论.然后给出了本篇论文中的两个定理,定理1.4与定理1.6.在第二部分,我们给出了在证明过程中会使用到的符号和预备知识.特别地,我们给出黎曼流形上的极大类空图的方程和其解的水平集的曲率.在第三部分,我们将证明常秩定理来描述凸水平集的一个性质.在第四部分,我们开始证明定理1.4.在第五部分,我们开始计算定理1.6.本文主要的两个定理如下:定定理1.4设(M,g)为具有常截面曲率?的空间形式,?和?是M内有界光滑严格凸区域,(？)(？)?.设下面这个定义在?=?\(？)上的极大严格类空图方程(？)(1.3)在(？)上有一个光滑严格类空解u,则在整个(？)上▽u≠0,且u的水平集关于▽u都是严格凸的.定定理1.6设u是定义在具有常高斯曲率∈的黎曼流形M上的方程(1.3)的解.设k为u的水平集的测地曲率.对于φ=(?),有下列关系成立.(?),其中a=(1-|▽u|)δ+uu为极大曲面算子.