特征值的弱Harnack不等式及其应用

作     者：闫变莲 

作者单位：湖南大学 

学位级别：硕士

导师姓名：徐露

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 0701[理学-数学] 070101[理学-基础数学] 

主      题：弱Harnack不等式 常秩定理 水平集 空间Hessian矩阵 

摘      要：在偏微分方程的研究中,解的凸性是一个经典而重要的课题.常秩定理是研究凸性的强有力的工具,它不仅能够处理欧氏空间中的方程,还可以处理一般流形上涉及对称曲率张量的各种非线性微分方程.此外,应用常秩定理还能够解决一些经典的几何问题,如Christoffel-Minkowski问题和预定Weingarten曲率问题.通常人们利用强极值原理证明常秩定理.近期,Székelyhidi和Weinkove提出了一种新的证明思路,他们引入了特征值的线性组合作为辅助函数,建立了关于Hessian矩阵特征值的弱Harnack不等式,从而得到了一类完全非线性椭圆方程的定量版本的常秩定理.本文的主要工作是将Székelyhidi和Weinkove的证明思路推广,得到相关常秩定理的新证明.主要内容分为两个部分,具体如下.第一部分研究一类拟线性椭圆方程的拟凸解.我们简单地改进了特征值的一阶导数估计得到更精确的结果.随后对满足结构性条件的方程,利用一阶导数和二阶导数估计,建立了关键的椭圆型微分不等式.再运用关于非负半凹上解的弱Harnack不等式,我们得到了Weingarten张量的特征值的弱Harnack不等式.作为直接推论得到了这一类方程拟凸解的水平集的常秩定理.第二部分研究一类完全非线性抛物方程的凸解.首先,我们运用近似逼近的方法证明抛物方程非负半凹上解的弱Harnack不等式.由于空间Hessian矩阵的特征值的导数估计与椭圆方程中的估计一致,我们类似地建立了抛物型微分不等式,随后将Székelyhidi和Weinkove提出的建立特征值的弱Harnack不等式的技巧推广到抛物方程中,得到空间Hessian矩阵的特征值的弱Harnack不等式,这个结果蕴含着空间Hessian矩阵的秩关于时间单调递增.