二维黎曼流形上极大类空超曲面的几何性质

作     者：王建春 

作者单位：曲阜师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：王培合

授予年度：2018年

学科分类：07[理学] 0701[理学-数学] 070101[理学-基础数学] 

主      题：水平集 最速下降线 曲率估计 常秩定理 极大类空超曲面 

摘      要：在数学物理等学科中,椭圆偏微分方程应用非常广泛,其中极大类空超曲面方程是椭圆偏微分方程最经典的代表之一.本文研究的区域为二维黎曼流形,考虑其上的极大类空超曲面方程水平集的凸性,最终刻画流形上极大类空超曲面的最速下降线的曲率估计.论文将主要由下面几部分构成:第二部分,我们给出在证明过程中用到的符号及预备知识,尤其是我们使用水平集的曲率及最速下降线曲率的表示形式,关于凸水平集的常秩定理,极值原理这三个常用的理论.第三部分,我们得到水平集的严格凸性.第四部分,我们推导出极大类空超曲面的最速下降线的曲率估计.本文主要结果如下:定理1.设(M2,g)是具有常截面曲率e的空间形式,Ω0,Ω1是M2中的有界光滑严格凸区域,且(?)1(?)Ω0.假设定义在Ω=Ω0\(?)1上的极大严格类空超曲面方程(?)（1.1）在(?)有唯一光滑严格类空间解u.那么在整个(?)上,▽u ≠ 0且u的所有水平集关于▽u是严格凸的.定理2.设M2是常截面曲率为∈的黎曼流形,Ω(?)M2,u是Ω中方程(1.1)的解,令J是u的最速下降线曲率,设φ=|▽u|-1J,则(?)这里,aij =(1-|▽u|2)δij+uiuj.