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体积约束的非局部扩散问题基于新的技巧的有限元方法

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工程数学学报 2022年第4期39卷 657-664页

作者：葛志昊吴慧丽河南大学数学与统计学院开封475004

体积约束的非局部扩散问题在复合材料的断裂、多晶体的断裂、纳米纤维网络、裂缝的不稳定、图像处理等领域有重要应用,现存的数值方法精度不高。因此,设计一种高阶的有限元方法来求解二维体积约束的非局部扩散问题是十分必要的,但需克... 详细信息

体积约束的非局部扩散问题在复合材料的断裂、多晶体的断裂、纳米纤维网络、裂缝的不稳定、图像处理等领域有重要应用,现存的数值方法精度不高。因此,设计一种高阶的有限元方法来求解二维体积约束的非局部扩散问题是十分必要的,但需克服维数增加带来的自由度骤增的困难。为此,采用了一种新技巧计算线性元的刚度矩阵,该数值方法的刚度矩阵是从一个新的矩阵B中提取的,该矩阵易于计算,并给出了单元的编码原理和数值计算节点的编码表达式,并通过数值算例验证了该方法对二维体积约束的非局部扩散问题具有几乎最优收敛阶。值得一提的是,求解二维体积约束的非局部扩散问题并不是平凡的。

关键词：非局部扩散问题体积约束有限元方法最优收敛阶

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空间四阶时间分数阶积分微分方程数值解

空间四阶时间分数阶积分微分方程数值解

作者：贾毅长沙理工大学

学位级别：硕士

分数阶积分微分方程是研究物理学,生物学,化学,经济学,电磁学,流行病学等领域问题的重要工具.由于这类方程的解析解难以得出,本文利用两种数值方法研究了空间四阶时间分数阶积分微分方程的数值解.在三章,我们利用Sinc-Galerkin方法求解... 详细信息

分数阶积分微分方程是研究物理学,生物学,化学,经济学,电磁学,流行病学等领域问题的重要工具.由于这类方程的解析解难以得出,本文利用两种数值方法研究了空间四阶时间分数阶积分微分方程的数值解.在三章,我们利用Sinc-Galerkin方法求解带有弱奇异核的空间四阶积分微分方程.在时间上借助L1格式和梯形卷积求积公式分别离散分数阶导数和积分,其次在空间上利用Sinc-Galerkin方法近似四阶偏导项,得到方程的全离散格式.接着我们推导出数值格式在空间上具有指数收敛精度,在时间上具有(1+δ)阶精度,其中δ=min{1+α,2-β}.最后通过数值算例来验证该方法的准确性和有效性.在四章,我们利用混合有限元方法求解空间四阶时间分数阶积分微分方程.在时间方向上利用二阶公式和分数阶卷积求积公式分别离散时间的偏导项和分数阶Riemann-Liouville积分.其次在空间上,引入辅助变量σ,将原方程转为一个耦合的系统,并构建有限元空间得到了全离散格式.最后证明全离散格式的稳定性和最优收敛阶,并给出一个算例证明了该方法是有效的.

关键词：空间四阶时间分数阶积分微分方程 Sinc-Galerkin方法混合有限元方法收敛阶稳定性最优收敛阶

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时间分数阶积分微分方程的高效数值算法研究

时间分数阶积分微分方程的高效数值算法研究

作者：刘琴贵州民族大学

学位级别：硕士

时间分数阶积分微分方程一直是人们研究的热点问题之一.由于其具有非局部性,致使大部分的分数阶积分微分方程的解析解是极难求解的,且在实际的工程中数值解比解析解的应用更广.因此许多学者转而研究其数值解,致力于找到更加高效的数值格... 详细信息

时间分数阶积分微分方程一直是人们研究的热点问题之一.由于其具有非局部性,致使大部分的分数阶积分微分方程的解析解是极难求解的,且在实际的工程中数值解比解析解的应用更广.因此许多学者转而研究其数值解,致力于找到更加高效的数值格式.文章的主要研究内容为时间分数阶积分微分方程的高效数值算法.第一部分基于分段二次拉格朗日插值法为二维非线性分数阶Volterra积分方程及其方程组构造了高阶数值格式.分析了格式的局部截断误差,严格证明了高阶数值格式的收敛性,且具有最优收敛阶(h+h),0阶导数的Volterra积分方程,并将其推广到方程组的形式.首先使用分段的二次拉格朗日插值法依次构造出方程和方程组的高阶数值格式,紧接着给出格式相应的局部截断误差分析,其阶数为(h_t+h+h),0阶导数的Volterra积分方程关于时间的快速计算.首先,基于线性插值和指数和近似法分别构造出了离散格式和快速化格式,且空间的构造与前面部分相同.接着分别给出了离散格式和快速化格式的局部截断误差分析,最后通过数值算例证明了快速化格式比离散格式更加高效、所需计算时间更短.

关键词：时间分数阶积分微分方程收敛性分析最优收敛阶快速计算

弱奇性积分方程的最优阶多尺度Petrov-Galerkin快速算法

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中山大学学报（自然科学版） 2011年第6期50卷 1-6页

作者：程思睿詹杰民陈仲英中山大学工学院应用力学与工程系广东广州510275 中山大学数学与计算科学学院广东广州510275

考虑求解第二类Fredholm弱奇性积分方程的多尺度Petrov-Galerkin压缩格式,给出压缩策略中截断参数的选取范围,证明了相应的压缩格式在保持稳定性、计算复杂度和系数矩阵条件数一致有界的基础上,收敛阶达到最优。并以数值算例验证了理论... 详细信息

考虑求解第二类Fredholm弱奇性积分方程的多尺度Petrov-Galerkin压缩格式,给出压缩策略中截断参数的选取范围,证明了相应的压缩格式在保持稳定性、计算复杂度和系数矩阵条件数一致有界的基础上,收敛阶达到最优。并以数值算例验证了理论结果的正确性和有效性。

关键词：最优收敛阶多尺度Petrov-Galerkin算法弱奇性积分方程

非定常瞬态N-S方程基于压力投影的非协调子格粘性稳定化方法

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四川大学学报（自然科学版） 2013年第6期50卷 1149-1161页

作者：曹川李芹四川大学数学学院成都610064 成都师范学院数学系成都610041

作者针对非定常瞬态Navier-Stokes问题提出了一种新的非协调子格粘性法.利用Park元具有较低自由度和保证最优收敛阶不被降低的优点,作者将子格粘性法和压力投影相结合,建立了一个新的全离散子格粘性有限元格式,并在高雷诺数情况下证明... 详细信息

作者针对非定常瞬态Navier-Stokes问题提出了一种新的非协调子格粘性法.利用Park元具有较低自由度和保证最优收敛阶不被降低的优点,作者将子格粘性法和压力投影相结合,建立了一个新的全离散子格粘性有限元格式,并在高雷诺数情况下证明了解的稳定性,得到了与雷诺数无关的最优误差估计.

关键词： Navier—Stokes问题子格粘性法 Park元自由度最优收敛阶高雷诺数

二维四阶非线性修正时间分数阶扩散方程的有限元方法

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二维四阶非线性修正时间分数阶扩散方程的有限元方法

作者：贺海燕内蒙古大学

学位级别：硕士

本文考虑了二维四阶非线性修正Riemann-Liouville时间分数阶扩散方程的有限元方法.由于四阶空间导数的存在,为了避免高次元的使用,我们引入了一个中间变量σ-= u 使得原始四阶分数阶问题转变成二阶耦合方程组系统.依据Riemann-Liouvill... 详细信息

本文考虑了二维四阶非线性修正Riemann-Liouville时间分数阶扩散方程的有限元方法.由于四阶空间导数的存在,为了避免高次元的使用,我们引入了一个中间变量σ-= u 使得原始四阶分数阶问题转变成二阶耦合方程组系统.依据Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数之间的关系,给出了 Riemann-Liouville分数阶导数基于L1-逼近的离散公式,时间方向上利用二阶向后差分公式逼近,空间方向利用有限元近似.第一章,对分数阶偏微分方程数值方法发展情况作了简单的介绍,并给出了所要研究的问题;第二章中,给出了二阶向后差分公式,时间分数阶离散公式,形成全离散有限元数值格式;第三章,对全离散格式的稳定性进行了详细地推理,给出了稳定性不等式结果;第四章,给出全离散格式误差估计理论,结果显示空间方向具有最优阶,时间方向得到了与L1-逼近相同的收敛阶数,即O(δmin{1+α,1+β});第五章,选择两个数值例子,通过一维例子验证时间收敛效果,通过二维例子验证在多维情况下有效性,数值收敛率与理论结果相吻合.

关键词：四阶时间分数阶扩散方程有限元方法稳定性最优收敛阶先验误差估计

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一种非协调金字塔元

一种非协调金字塔元

作者：王瑞芳大连理工大学

学位级别：硕士

有限元方法作为一种近似求解微分方程的数值分析方法,被广泛应用于数学以及工程领域。近代以来,伴随着计算机技术的快速发展,有限元分析方法已发展成为一套较为成熟的理论应用体系。非协调元作为一种重要的有限元分析方法,在为力学中的... 详细信息

有限元方法作为一种近似求解微分方程的数值分析方法,被广泛应用于数学以及工程领域。近代以来,伴随着计算机技术的快速发展,有限元分析方法已发展成为一套较为成熟的理论应用体系。非协调元作为一种重要的有限元分析方法,在为力学中的微分方程提供有效数值解的同时,解决了协调元需要构造大量参数的问题。本文提出了一种非参数非协调金字塔有限元。该元以五面体五个面上的均值为自由度,有限元空间为P2空间子空间。与其他非参数元不同的是,该元的节点基函数可通过引入一个新的参考金字塔单元直接构造,而无需求解局部线性方程组。在计算积分时,本文构造了在单元内具有两个/三个相同权重求积节点的积分公式,并给出三维金字塔元的具体数值实现方法。最后,本文给出了具体数值算例,以验证二阶椭圆问题的最优收敛阶。

关键词：金字塔网格非参数非协调元有限元最优收敛阶

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曲边区域上的弱伽辽金有限元方法

曲边区域上的弱伽辽金有限元方法

作者：庞丹丹南京师范大学

学位级别：硕士

本文主要是利用弱伽辽金有限元方法研究了凸的曲边区域上的二阶椭圆问题,对于曲边区域,采用带多条短边的直边多边形剖分来逼近,实现了高阶元在H1范数下的最优收敛阶.最后,进行一系列数值实验,通过数值算例,证实了理论结果的正确性.

关键词：曲边区域弱伽辽金有限元直边逼近最优收敛阶