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具有奇异项的临界重调和方程的多重正解

中北大学学报（自然科学版） 2022年第1期43卷 19-24页

作者：李春平桑彦彬中北大学理学院山西太原030051

四阶非线性椭圆型方程解的存在性和多重性的研究,对于解决弹性力学的悬桥周期振动中的行波问题和研究静态偏转的弹性板等问题具有非常重要的理论和实际意义.基于此,研究了一类具有奇异项的非线性临界椭圆方程.在该方程的求解过程中,一... 详细信息

四阶非线性椭圆型方程解的存在性和多重性的研究,对于解决弹性力学的悬桥周期振动中的行波问题和研究静态偏转的弹性板等问题具有非常重要的理论和实际意义.基于此,研究了一类具有奇异项的非线性临界椭圆方程.在该方程的求解过程中,一方面由于奇异项的出现,导致该方程对应的能量泛函不可微,无法直接应用经典的变分方法;另一方面由于增加了临界项,导致紧性缺失,从而经典的临界点理论已不适用.针对上述问题,首先为克服奇异性,构造了辅助函数,将奇异问题转化为非奇异问题;然后,为解决紧性缺失,引入了截断函数.借助于Nehari流形的分解和Ekeland变分原理,证明了当奇异项系数λ属于某个集合时,该方程至少存在两个正解,并且对于奇异项系数λ所处区间的上确界进行了精确估计.

关键词：奇异项 Nehari流形 Ekeland变分原理重调和方程

带卷积非线性项的Schr(?)dinger-Bopp-Podolsky系统基态解的存在性

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带卷积非线性项的Schr(?)dinger-Bopp-Podolsky系统基态解的存在性

作者：肖瑶中南大学

学位级别：硕士

作为量子力学领域的一个重要假设,Schr(?)dinger方程描绘了微观世界粒子运动的规律,将其与现代物理学中的Bopp-Podolsky电磁理论相结合可以得到Schr(?)dinger-Bopp-Podolsky系统。本文研究如下带卷积非线性项的Schr(?)dinger-Bopp-Podol... 详细信息

作为量子力学领域的一个重要假设,Schr(?)dinger方程描绘了微观世界粒子运动的规律,将其与现代物理学中的Bopp-Podolsky电磁理论相结合可以得到Schr(?)dinger-Bopp-Podolsky系统。本文研究如下带卷积非线性项的Schr(?)dinger-Bopp-Podolsky 系统:其中 a 是 Bopp-Podolsky 电磁理论参数,V∈ C(R3,[0,∞)),f∈ C(R,R),F(t)=∫0t f(s)ds以及Iα是Riesz位势。主要运用非线性分析和现代变分原理,通过对卷积非线性项的分析,在0nehari-Pohozaev型基态解的存在性。为克服非局部项φu所产生的困难,考虑在nehari-Pohozaev流形M中求解,建立若干不等式,证明当f在无穷远处超二次增长并且满足弱单调假设时对应约束极值可达;再次,在第二章证明结果的基础上考虑问题(P)的正的极小能量解。通过定义新的泛函族,利用强极值原理和Jeanjean单调技巧证明正的极小能量解的存在性;最后,我们在2 ≤ αnehari型基态解的存在性。相比于前两章,对位势V(x)的条件进行弱化,结合不等式和变分技巧证明nehari型基态解的存在性。图0幅,表0个,参考文献60篇

关键词： Schr(?)dinger-Bopp-Podolsky系统存在性基态解极小能量解 Nehari流形 nehari-Pohozaev流形卷积项临界点理论

两类带奇异项的Kirchhoff型分数阶方程解的研究

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两类带奇异项的Kirchhoff型分数阶方程解的研究

作者：宋天恒东北石油大学

学位级别：硕士

作为偏微分方程领域的一个重要研究方向,近十年来,基于经典Laplace算子和分数阶Laplace算子的Kirchhoff问题解的研究吸引了越来越多学者的关注.由于分数阶偏微分方程的研究在数学及物理学的各个领域中都有着十分广泛的应用,关于该类方... 详细信息

作为偏微分方程领域的一个重要研究方向,近十年来,基于经典Laplace算子和分数阶Laplace算子的Kirchhoff问题解的研究吸引了越来越多学者的关注.由于分数阶偏微分方程的研究在数学及物理学的各个领域中都有着十分广泛的应用,关于该类方程的研究,特别是Kirchhoff型分数阶偏微分方程解的研究,取得了一定进展.值得注意的一点是,奇异项的存在使得分数阶偏微分方程的研究变得更加复杂,其研究成果尚待丰富.因此,本文将对两类带有奇异项的Kirchhoff型分数阶Laplace方程解的存在性和唯一性问题进行系统研究,具体的研究内容如下:首先,本文对分数阶Sobolev空间和分数阶Sobolev型空间的定义及性质进行简要介绍,并对Ekeland变分原理、Nehari流形以及Lebesgue空间上的一些重要结论进行叙述.然后,本文针对带有强奇异项Kirchhoff型分数阶Laplace方程解的存在唯一性进行研究.强奇异项的存在使得方程对应的能量泛函Fréchet导不存在,由此导致无法直接利用Nehari流形方法讨论能量泛函的极值点.为克服这一难点,本文借助Nehari流形的思想构造两个约束集合,在约束集合上研究能量泛函的性质,并应用隐函数存在定理和Ekeland变分原理给出该方程存在唯一正解的充分必要条件.最后,本文对带有弱奇异项的Kirchhoff型分数阶Laplace方程解的存在唯一性进行讨论.利用极大极小方法,证明该方程存在唯一正解.通过对强奇异项和弱奇异项方程研究,从而更加直观地了解强弱指标在研究解的存在唯一性问题上的区别.

关键词：奇异项 Kirchhoff函数 Nehari流形 Ekeland变分原理极大极小方法

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非对称介质中的非线性麦克斯韦方程的基态解

非对称介质中的非线性麦克斯韦方程的基态解

作者：李鑫云南师范大学

学位级别：硕士

本文通过探讨在非圆柱对称介质中,具有类克尔非线性项的麦克斯韦方程,导出了一个新的半线性椭圆方程其中f(x,u)=(?)uF(x,u),Ω(?)R2.利用 Hilbert-Schmidt 理论,给出算子L:dom(L)(?)L2(Ω)6 → L2(R2)6的谱σ(L)={0,λ1,λ2,λ3,…,λn,... 详细信息

本文通过探讨在非圆柱对称介质中,具有类克尔非线性项的麦克斯韦方程,导出了一个新的半线性椭圆方程其中f(x,u)=(?)uF(x,u),Ω(?)R2.利用 Hilbert-Schmidt 理论,给出算子L:dom(L)(?)L2(Ω)6 → L2(R2)6的谱σ(L)={0,λ1,λ2,λ3,…,λn,…},其中特征值0具有无限重数且对应的特征向量属于W;{λn}n=1∞中的每一个特征值具有有限重数,且对应的特征向量属于V,以及满足0<λ1<λ2<λ3 ≤…≤λn→∞.由于算子L的核空间是无穷维的,所以半线性方程(1)的能量泛函是强不定的.我们构造了适当的索伯列夫空间X=V⊕W,利用变分方法给出了方程(1)的基态解的存在性.即当λ<0或λ≤ 0时,假设非线性项F分别满足一定条件时,方程(1)存在一个基态解.此外,如果非线性项F关于u是偶的,那么J有无界的临界值序列.

关键词：基态解麦克斯韦方程组 Nehari流形 Hilbert-Schmidt理论

两类带有奇异项的变指数增长椭圆型方程解的存在性研究

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两类带有奇异项的变指数增长椭圆型方程解的存在性研究

作者：胡新存中南大学

学位级别：硕士

随着弹性力学、流体力学和连续介质力学等领域的发展,近年来,对变指数数空间的研究受到了广泛的关注。本文应用变指数Lebesgue空间Lp(x)(Ω)及变指数Sobolev空间W01,p(x)(Ω)理论,研究两类变指数增长椭圆型方程。全文共分为五章,其主要... 详细信息

随着弹性力学、流体力学和连续介质力学等领域的发展,近年来,对变指数数空间的研究受到了广泛的关注。本文应用变指数Lebesgue空间Lp(x)(Ω)及变指数Sobolev空间W01,p(x)(Ω)理论,研究两类变指数增长椭圆型方程。全文共分为五章,其主要内容如下:首先,综述变指数增长椭圆方程的研究现状,并给出所需的预备知识。其次,对于以下带有奇异项和临界项的p(x)-Kirchhoff方程:其中Ω是RN(N ≥ 3)中的一个有界光滑区域,λ和κ是两个正参数,γ(x):Ω→(0,1)是连续函数,p(x),q(x):Ω→R是两个Lipschitz连续函数,且(?)=p+1,?x∈Ω}。由于上式中存在奇异项,使得处理该方程解的存在性更加困难。我们利用Hardy-Sobolev不等式和Nehari流形的分解,得到上述方程解的存在性及多重性。最后,提出一些可探讨的问题。图0幅,表0个,参考文献62篇。

关键词： p(x)-Laplace算子奇异项临界点 Nehari流形

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两类薛定谔方程驻波解的存在性研究

两类薛定谔方程驻波解的存在性研究

作者：张瑜山东理工大学

学位级别：硕士

本文主要研究两类薛定谔方程解的存在性,包括带有饱和非线性项的薛定谔方程正束缚态解的存在性和拟线性薛定谔方程正规化解的存在性,其中拟线性薛定谔方程主要考虑了位势函数分别为恒为零或为调和函数两种情况下,正规化解的存在性.本文... 详细信息

本文主要研究两类薛定谔方程解的存在性,包括带有饱和非线性项的薛定谔方程正束缚态解的存在性和拟线性薛定谔方程正规化解的存在性,其中拟线性薛定谔方程主要考虑了位势函数分别为恒为零或为调和函数两种情况下,正规化解的存在性.本文总共分为以下四个章节:在第一章中,我们首先介绍了以上两类薛定谔方程的研究背景及意义,接着介绍了其国内外研究现状、主要研究内容,之后给出本文即将用到的定义、引理等相关预备知识,最后介绍了本文的整体结构.在第二章中,我们考虑如下具有饱和非线性项的薛定谔方程:(?)其中N≥1,i是虚数单位,μ>0是耦合常数,我们要研究当强度函数g(x)满足一定条件时,方程的基态解不存在,并且通过Nehari流形的约束和环绕定理得到方程的束缚态解,利用拓扑度的相关理论证明束缚态解是正解.在第三章中,我们考虑拟线性薛定谔方程(?)其中考虑位势函数V(x)分别为以下两种情形:(?)通过利用径向对称函数空间上的紧嵌入对拟线性部分进行估计,结合凸函数的性质、Brizes-Lieb引理,得到了当位势函数满足(1)时,拉格朗日乘子限制在一定范围内,拟线性薛定谔方程正规化解的存在.当位势函数满足(2)时,利用能量估计的方法和紧性,可以比较容易得到拟线性薛定谔方程的正规化解.在第四章中,我们总结得到的结果,针对本文的结果提出了值得探究的问题.

关键词：饱和薛定谔方程变分法 Nehari流形束缚态解正规化解

两类Kirchhoff型方程解的存在性与多重性

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两类Kirchhoff型方程解的存在性与多重性

作者：苑紫冰西南大学

学位级别：硕士

本文主要研究了两种不同类型的Kirchhoff型方程的解的存在性与多重性.首先考虑如下一类具有Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff方程的多解性(0.1)其中Ω?R3是一个具有光滑边界的有界区域,且0 ∈Ω,a,b,λ>0,11/A12时(其中A1>0是最佳Sobol... 详细信息

本文主要研究了两种不同类型的Kirchhoff型方程的解的存在性与多重性.首先考虑如下一类具有Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff方程的多解性(0.1)其中Ω?R3是一个具有光滑边界的有界区域,且0 ∈Ω,a,b,λ>0,11/A12时(其中A1>0是最佳Sobolev-Hardy常数),应用山路定理,可以得到该方程两个正解的存在性.接着,考虑如下具有凹凸非线性的Kirchhoff型问题:-(1+b ∫R3 |▽u|2dx)Δu+λV(x)u=μf(x)|u|q-2u+g(x)|u|p-2u,x∈R3,(0.2)其中b>0是一个常数,λ>0,μ是实参数,V是一个非负连续位势,且1

关键词： Kirchhoff型方程凹凸非线性项 Nehari流形 Hardy-Sobolev临界指数山路定理形变引理正解变号解

奇异流形上一类带临界锥Sobolev指数的双调和方程的多解性

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奇异流形上一类带临界锥Sobolev指数的双调和方程的多解性

作者：管雪伶武汉大学

学位级别：硕士

本文考虑如下的非线性双调和方程其中1流形B=[0,1)×X,这里X是带有光滑度量g的紧致光滑流形.算子Δ是在边界{0}×(?)X上全特征退化的双调和Beltrami-Laplace算... 详细信息

本文考虑如下的非线性双调和方程其中1流形B=[0,1)×X,这里X是带有光滑度量g的紧致光滑流形.算子Δ是在边界Nehari流形×(?)X上全特征退化的双调和Beltrami-Laplace算子.f(x)和g(x)是B上的连续变号函数,同时也满足一些其他条件.我们利用Nehari流形和范畴理论,在奇异流形B上得到上述双调和方程的多解性结果.

关键词：双调和方程临界锥Sobolev指数变号加权函数 Nehari流形范畴理论

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几类分数阶微分方程解的存在性与爆破性研究

几类分数阶微分方程解的存在性与爆破性研究

作者：胡蝶中国民航大学

学位级别：硕士

分数阶Laplace算子在量子力学,金融数学和反常扩散等实际问题中有着广泛的应用.因此分数阶问题吸引了众多学者的关注与研究,目前仍然是非线性分析与偏微分方程领域研究的热点问题之一.近年来,分数阶Kirchhoff型方程得到了大量研究.本文... 详细信息

分数阶Laplace算子在量子力学,金融数学和反常扩散等实际问题中有着广泛的应用.因此分数阶问题吸引了众多学者的关注与研究,目前仍然是非线性分析与偏微分方程领域研究的热点问题之一.近年来,分数阶Kirchhoff型方程得到了大量研究.本文主要研究几类分数阶Kirchhoff型方程解的存在性与爆破性.具体内容如下:在第三章中,研究一类带有不连续集值项以及线性强阻尼项的分数阶Kirchhoff型微分包含弱解的存在性.在初始值以及Kirchhoff函数M满足适当假设的情况下,通过使用正则化以及Galerkin方法得到上述微分包含弱解的存在性.在第四章中,讨论一类带有分数粘弹性项与阻尼项的非线性分数阶Kirchhoff型波动方程弱解的存在性与爆破性.首先采用Galerkin方法研究该方程弱解的局部存在性,并分别给出弱解的局部存在与全局存在的充分条件;然后借助能量不等式,微分不等式以及爆破分析技术得到方程弱解的全局非存在性.在第五章中,分析一类带有权函数以及对数非线性项的分数阶Kirchhoff型问题极小能量解的存在性.当权函数非负时,通过将讨论限定在Nehari流形得到该问题极小能量解的存在性;当权函数为变号函数时,通过使用Nehari流形方法得到两个局部极小能量解.

关键词：分数阶Laplace算子 Kirchhoff问题 Galerkin方法 Nehari流形存在性爆破性