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平面可积系统对应的abel积分的构造及其零点个数的研究具有深刻的理论意义和广泛的应用背景.这方面的研究与弱化Hilbert第16问题紧密相关.本文我们利用微分方程定性理论和分支理论,研究含有参数的六次超椭圆哈密顿系统相应的abel积分之比的单调性,abel积分零点个数在非线性波方程中的周期波解个数上的应用及其肿瘤模型的演化问题.主要研究工作如下:第一,研究含有参数的六次超椭圆哈密顿系统相应的两个abel积分之比的单调性,为了克服参数带来计算分析上的困难,本文利用abel积分之比的解析判别法,结合计算机代数理论(多项式边界理论)证明了两个abel积分之比是单调的,从而证明了周期环域上的Poincaré分支的极限环个数的唯一性.第二,利用Fenichel定理和abel积分等研究耗散KdV(Korteweg-de Vries)浅水波方程的周期波和孤立波的存在性,并证明该方程具有两个不同幅度的周期波.最后,根据一定的温度,水温及密度等代入Aspe参数,将Aspe近似参数应用到研究结果,由近似参数确定相关环境下周期波的存在性及波速的范围.数值实验,我们模拟出了周期波,验证了理论的正确性.第三,利用几何奇异摄动理论分析具有增长项wln(1/w)的肿瘤侵袭模型的波前解问题,得到了具有增长项wln(1/w)的肿瘤侵袭模型的层问题在一定条件下有一个鞍节点分岔,约化问题在一定条件下有一个折鞍鸭点,证明了模型在一定条件下存在唯一的波前解.

关键词： abel积分单调性周期波 Korteweg-de Vries方程肿瘤侵袭模型

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一类可积系统在n次多项式扰动下abel积分孤立零点个数的估计

一类可积系统在n次多项式扰动下Abel积分孤立零点个数的估计

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作者：王逸凡天津师范大学

学位级别：硕士

确定可积系统在n(n∈N+)次多项式扰动下abel积分I(h)的孤立零点个数的上确界,是常微分方程分岔理论的研究热点之一.本文主要研究了可积系统(?)其中ab≠0,k∈N+,通过尺度变换可将该系统化为:(?)估计了该系统在n次多项式扰动下abel积分的... 详细信息

确定可积系统在n(n∈N+)次多项式扰动下abel积分I(h)的孤立零点个数的上确界,是常微分方程分岔理论的研究热点之一.本文主要研究了可积系统(?)其中ab≠0,k∈N+,通过尺度变换可将该系统化为:(?)估计了该系统在n次多项式扰动下abel积分的孤立零点个数的上确界.同时,改进了文献[29]中,关于k≥3时,abel积分的孤立零点个数的上确界的结论.全文分为五章,第一章介绍了本课题的研究背景,研究现状以及本文的主要研究结果:在n次多项式扰动下,当abel积分不恒为0时,该系统阿贝尔积分孤立零点个数的上确界Z(n,k)满足:(1)Z(n,1)=n;Z(n,2)≤n+2[n/2]+ 7;当k≥3 时,Z(n,k)≤(2k+1)[n/2]+3k+1.(2)Z(0,k)=0,Z(1,k)=1,3≤Z(2,2)≤5,3≤Z(2,3)≤8,3≤Z(2,4)≤12,当k≥5时,3≤Z(2,k)≤4k+1;4≤Z(3,2)≤6,5≤Z(3,3)≤11,当k≥4时,5≤Z(3,k)≤4k+2.(3)当abel积分不恒为0,且k≥3时,可积系统x=y(1+x),y=-x2k-1(1+x)在n次多项式扰动下的abel积分孤立零点个数上确界小于等于(2k+1)[n+1/2]+k.第二章证明了与构造abel积分相关的引理以及生成元满足的关系式,介绍了笛卡尔符号法则、广义Rolle定理、切比雪夫系统定理等与估计abel积分零点个数相关的引理.第三章介绍了两个系统在n次多项式扰动下的abel积分的表达式.第四章对本文主要研究结果(1)(3)进行了证明.第五章对本文主要研究结果(2)进行了证明.

关键词：可积系统 abel积分笛卡尔符号法则辐角原理广义Rolle定理

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若干abel积分零点个数及其应用

若干Abel积分零点个数及其应用

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作者：陆丽萍广西师范大学

学位级别：硕士

本文主要研究若干abel积分零点个数及其在非线性波方程周期波解个数的应用.第一章,我们介绍超椭圆系统的abel积分零点个数以及非线性波方程的行波解的相关背景,以及我们得到的结果.第二章,我们研究一类七次对称的超椭圆哈密顿系统在小... 详细信息

本文主要研究若干abel积分零点个数及其在非线性波方程周期波解个数的应用.第一章,我们介绍超椭圆系统的abel积分零点个数以及非线性波方程的行波解的相关背景,以及我们得到的结果.第二章,我们研究一类七次对称的超椭圆哈密顿系统在小的扰动下Poincar’e分支的最大极限环个数,由Poincar’e分支理论可知系统的最大极限环个数可以用abel积分的最大零点个数来确定.我们主要考虑的是含有两个双曲鞍点和两个幂零尖点的七次对称超椭圆哈密顿系统.应用Chebyshev系统理论等代数方法,借助数学机械化中的相关符号计算方法,判断相关半代数系统是否有零点存在.通过分析中心附近和异宿环附近abel积分的比值,得到最大零点个数的存在性.最后,得到哈密顿系统相对应的abel积分的最大零点个数.第三章,我们研究一类五次扰动BBM方程的扭结波和周期波的存在性以及它们共存问题.主要方法是通过行波变换把非线性波方程转化为奇异摄动的动力系统,在临界流形上构造扰动哈密顿系统,得到相应的abel积分,利用Chebyshev系统方法和监渐近展开式方法,得到abel积分的零点个数及分布,相应得到周期波和扭结波的个数及分布;利用几何与代数的方法,通过研究abel积分二阶导数的最大零点个数,我们得到abel积分的最大零点个数.最后,得到周期波解个数最小上界为2.最后一章,对主要研究成果进行归纳总结,并对今后研究工作提出一些意见.

关键词：极限环 abel积分异宿环非线性波方程周期波解

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基于Bayes算法的abel积分反演折射指数的研究

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地球物理学报 2019年第12期62卷 4506-4512页

作者：王宇黄思训项杰上海立信会计金融学院统计与数学学院上海201209 国防科技大学气象海洋学院南京211101 国家海洋局第二海洋研究所卫星海洋环境动力学国家重点实验室杭州310012

本文将Bayes算法应用到abel积分方程中,利用End-to-End Generic Occultation Performance Simulation and Processing System(EGOPS)软件仿真出的弯角数据来反演大气折射指数,并与Tikhonov正则化的反演结果进行对比.当直接利用仿真所得的弯角数据(认为它是不含误差的)时,Bayes算法与Tikhonov正则化的反演结果具有很好的一致性,二者的均方根误差均为2.5470×10-8;但在实际观测过程中,由于电离层以及水汽等方面的影响,所得到的弯角数据不可避免地会含有误差,可能产生高频成分,甚至存在间断的现象,因此我们在仿真的弯角数据中加入了满足高斯型分布的随机噪声,然后进行折射指数的反演试验.结果表明,相比于Tikhonov正则化技术,Bayes算法具有更高的反演精度.

关键词： Bayes算法折射指数 abel积分 Tikhonov正则化

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