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可积耦合AKNS方程的达布变换及其精确显式解

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工程数学学报 2022年第2期39卷 330-340页

作者：程建玲冯依虎郑州西亚斯学院教育学院新郑451100 亳州学院电子与信息工程系亳州236800

由于许多物理现象需要建立有两个或多个分量的波动模型用以说明不同的模式、频率和极化现象。此外,只有多分量系统才能从理论和实践上解释一些多个物理场能量的交换。因此,给定一个可积系统,我们如何构造一个非平凡的微分方程系统,使它... 详细信息

由于许多物理现象需要建立有两个或多个分量的波动模型用以说明不同的模式、频率和极化现象。此外,只有多分量系统才能从理论和实践上解释一些多个物理场能量的交换。因此,给定一个可积系统,我们如何构造一个非平凡的微分方程系统,使它是可积的并且包含原系统为一个子系统,是可积耦合研究的重要问题之一。利用一个稳定方程推导可积耦合AKNS方程,然后给出一次达布变换,其中的元素可以用两个行列式的商来表示。通过比较一次达布变换的形式和特点,推导出用行列式表示的N次达布变换公式。进而利用种子解,通过N次达布变换进行迭代,可以得到任意阶孤子解。作为达布变换的应用,我们求出了精确显式单孤子解。

关键词：达布变换可积耦合AKNS方程精确显式解

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达布变换在若干非局域离散孤子方程中的应用

达布变换在若干非局域离散孤子方程中的应用

作者：于佳铭沈阳师范大学

学位级别：硕士

作为非线性科学的一门不可缺少的内容——孤立子理论,给求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了创新。它的发展,为非线性方程研究注入了新兴的活力。对于非线性方程,构造其精确解有很多种方法,但是达布变换在非线性方法中占据举... 详细信息

作为非线性科学的一门不可缺少的内容——孤立子理论,给求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了创新。它的发展,为非线性方程研究注入了新兴的活力。对于非线性方程,构造其精确解有很多种方法,但是达布变换在非线性方法中占据举足轻重的地位。目前,关于非线性薛定谔方程的研究工作已经取得了巨大的成果。然而,对于高阶复杂的4×4离散耦合Ablowitz-Ladik方程以及PT对称的非局域耦合薛定谔方程所做的达布变换研究比较少。针对上述问题,本文研究的主要内容如下:第二章研究了PT对称的非局域耦合薛定谔方程。我们从3×3 Lax对出发,利用达布变换的方法,得到新解与旧解之间的关系。经过复杂的计算,得到一孤子解,二孤子解以及N孤子解计算公式。最后,利用画图软件,得到一些孤子图,其中包括亮孤子波解,呼吸波解,怪波。同时,显示了两孤子之间的弹性相互碰撞,它们的振幅在相互作用后,除了相移之外波形保持不变。第三章主要研究离散耦合Ablowitz-Ladik方程以及离散非局域耦合Schr?dinger方程。第一部分研究了复杂的4×4 Lax对的离散耦合Ablowitz-Ladik方程达布变换以及精确解。第二部分巧妙将离散非局域Schr?dinger方程扩张到离散非局域耦合Schr?dinger方程,即将2×2 Lax对扩展到3×3 Lax对。首先,利用离散零曲率方程得到Lax对相应方程。其次,构建变换矩阵T,利用达布变换,得到新Lax对与旧Lax对的关系。最后,经过复杂的计算,得到种子解为零以及种子解不为零的1-孤子解,2-孤子解及N-孤子解计算公式。利用Maple画图软件,画出其走势,其固定参数由作者预先设定,可以看到两孤子解的弹性碰撞,得到亮孤子解,呼吸子解及畸形波解。这些结论可以充分运用到某些电光学系统中的非线性波。

关键词：离散非局域方程薛定谔方程达布变换亮孤子解呼吸波解

达布变换和双线性方法求解耦合非局域薛定谔方程

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达布变换和双线性方法求解耦合非局域薛定谔方程

作者：范蕊沈阳师范大学

学位级别：硕士

迄今为止,应用达布变换求解孤子方程仍然是孤子理论中研究的热点问题。由于达布变换比较复杂,多数学者仅研究了2×2 Lax对的变换。近年来,非局域耦合薛定谔方程的研究成果较少。因此,我们将尝试利用更高阶Lax对的达布变换解决非局域耦... 详细信息

迄今为止,应用达布变换求解孤子方程仍然是孤子理论中研究的热点问题。由于达布变换比较复杂,多数学者仅研究了2×2 Lax对的变换。近年来,非局域耦合薛定谔方程的研究成果较少。因此,我们将尝试利用更高阶Lax对的达布变换解决非局域耦合薛定谔方程的求解问题。双线性方法也常被用来求解局域孤子方程,此方法能简化部分计算过程,使得求孤子解更加容易。然而应用双线性方法求解耦合非局域薛定谔方程的研究工作较少。针对这些问题,本文从以下方面进行研究:在第二章中,研究了具有3×3谱问题的耦合非局域非线性薛定谔方程的达布变换。开始利用一个特殊的Lax对,来构造耦合非局域非线性薛定谔(CNNLS)方程的达布变换。然后,我们通过N次达布变换得到耦合非局域非线性薛定谔方程的孤子解和N阶孤子解公式。基于所获得的解,我们研究了这些多孤子解的传播和相互作用结构。研究结果表明,1-孤子解展示了一个暗孤子和一个亮孤子的演化结构。2-孤子解展示了两个暗孤子和两个亮孤子之间的弹性相互作用。所得结果与局域非线性方程的解不同,并且通过操纵一些多孤子波,也可以产生不同的传播现象。在第三章中,我们通过达布变换研究了带有3×3谱问题的局域-非局域混合的耦合薛定谔方程。由给定的Lax对构造了局域-非局域混合的耦合薛定谔方程的达布变换,我们通过N次达布变换得到局域-非局域混合的耦合薛定谔方程的1-孤子解,2-孤子解及N-孤子解公式。基于所得的解,显示出了这些多孤子解的传播和相互作用。1-孤子阶展示了单孤子的演化结构;2-孤子解展示了双呼吸孤子解之间弹性相互作用。与此同时,我们发现这与局域耦合薛定谔方程和非局域耦合薛定谔方程情况不同,局域-非局域混合的耦合薛定谔方程有一些新的结果。在第四章中,采用双线性方法求解耦合的非局域非线性薛定谔方程。首先从非线性方程出发,应用相关变量的变换,通过引入双线性算子,将原来非线性方程转化为双线性方程;然后构造成偏微分方程组并对其求解;最后得到了耦合非局域非线性薛定谔方程的1-孤子解和2-孤子解,并应用Maple软件,得到精确解。本文的结果可能有助于理解等离子体中描述的一些物理现象。

关键词：耦合非局域薛定谔方程达布变换 Hirota双线性方法孤子解

DNLS族的达布变换及(2+1)维MKP型方程的精确解

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东北师大学报（自然科学版） 2022年第4期54卷 12-18页

作者：李彩娟王玉磊杜殿楼信阳学院数学与统计学院河南信阳464000 郑州大学数学与统计学院河南郑州450001

把(2+1)维MKP型方程分解成DNLS族前两个非平凡的(1+1)维孤子方程,借助达布变换求出(1+1)维DNLS方程的精确解,得到了(2+1)维MKP型方程的精确解.

关键词：孤子方程达布变换精确解

达布变换和双线性方法在非局域非线性方程中的应用

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达布变换和双线性方法在非局域非线性方程中的应用

作者：段超男沈阳师范大学

学位级别：硕士

在很多自然现象中,非局域性是一种常见的现象。一些理论分析和数值模拟表明,非局域性能够消除波的坍塌,极大地改善暗孤子之间的相互作用。目前,利用达布变换和双线性方法已经得到了许多局域非线性方程的解,但利用达布变换和双线性方法... 详细信息

在很多自然现象中,非局域性是一种常见的现象。一些理论分析和数值模拟表明,非局域性能够消除波的坍塌,极大地改善暗孤子之间的相互作用。目前,利用达布变换和双线性方法已经得到了许多局域非线性方程的解,但利用达布变换和双线性方法去求解非局域方程的研究比较少。本文将针对这一问题做如下研究:在第二章中,我们主要用达布变换求解了具有自诱导PT对称的非局域非线性Schr?dinger方程。在Lax对之间的规范变换的辅助下导出了非局域非线性Schr?dinger方程的N重达布变换。最后得到了一些新的精确解,其中包括亮孤子波解、呼吸波解。特别地,在本章中给出了一孤子解、两孤子解、三孤子解的动态特性和两个孤子之间的弹性相互作用。最近,广义非局部非线性Hirota方程已经得到了广泛的关注,它可以看作非局域薛定谔方程的推广,并且可以归结为非局域Hirota方程。因此在本章中,我们还研究了一个广义非局域非线性Hirota方程以及它的N阶达布变换的行列式表示。然后我们给出了一些新的精确解,包括呼吸波孤子、亮孤子、以及孤立波的一些特性和相互作用。其次,1孤子解和2孤子解的动力学特征以及两个孤子解之间的弹性相互作用被显示出来。我们发现非局域方程与局域方程不同的情形,广义非局部非线性Hirota方程中的q(x,t)和q(-x,t)有一些孤立波的新特征,这是不同于经典的Hirota方程。在第三章中,首先我们探究了非局域复可积mKdV方程的双线性形式,通过使用双线性方法得到非局域复可积mKdV方程的一孤子解和二孤子解。再选取适当的参数,使用maple软件画出方程的精确解。其次,我们还探究了变系数的非局域可积薛定谔方程的双线性形式,求得它的一孤子解和二孤子解。具体地,我们经过一个非标准化的过程,成功地将具有任意时变线性势的广义非局域Gross-Pitaevskii(NGP)方程双线性化,给出了更一般的亮孤子解,它描述了准一维波色-爱因斯坦凝聚中孤子解的动力学。在一些合理的假设下,利用改进的Hirota方法对一个亮孤子解和两个亮孤子进行了解析构造。从规范等价性可以看出非局域变系数薛定谔方程解与局域变系数薛定谔方程解的区别。

关键词：非局域非线性Schr?dinger方程 Hirota方程双线性方法非局域可积mKdV方程达布变换

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KP及其相关可积方程族的达布变换

KP及其相关可积方程族的达布变换

作者：杨艺中国矿业大学

学位级别：硕士

KP方程族是可积系统领域中的重要研究对象之一,在数学物理中具有广泛的应用.近年来,KP及其相关可积方程族吸引了许多专家学者的兴趣,并且已经取得许多显著的成果.达布变换是一种有效的求解可积系统的方式,通过达布变换,可以得到可积系... 详细信息

KP方程族是可积系统领域中的重要研究对象之一,在数学物理中具有广泛的应用.近年来,KP及其相关可积方程族吸引了许多专家学者的兴趣,并且已经取得许多显著的成果.达布变换是一种有效的求解可积系统的方式,通过达布变换,可以得到可积系统的各种类型的解.本文将在Sato理论的框架下,结合无穷维李代数的最高权表示,利用自由费米子与自由玻色子的语言,研究KP及其相关可积方程族的达布变换,以及讨论达布变换的各种应用,包括双线性等式、平方本征函数对称、附加对称等方面.本文共分为六章,具体如下:第一章从KP及其相关方程族,包括修正KP（简称为mKP）方程族,BKP方程族,CKP方程族的研究背景出发,回顾了这些可积方程族的一些基本性质以及达布变换、双线性等式、平方本征函数对称、附加对称的研究情况.最后介绍了本文的主要内容,研究方法与思路以及研究的创新点.第二章主要利用自由费米子来研究KP方程族及其达布变换.首先回顾了自由费米子的性质,并给出了自由费米子的一些重要关系.进而构造出KP方程族的Lax结构,穿衣算子,tau函数等.其次给出了 KP方程族的谱表示.然后利用自由费米子的性质以及谱表示,研究了 KP方程族在各种达布变换作用下tau函数的费米表示,进而给出了变换后的tau函数所满足的双线性等式.最后给出了一些双线性等式的例子.第三章主要利用自由费米子来研究mKP方程族及其达布变换.首先回顾了1次mKP方程族（Kupershmidt-Kiso版本的mKP方程族）的双线性等式,并写出相应的Lax结构.而后回顾了 Miura变换的性质,通过Miura变换从KP方程族的谱表示出发,得出mKP方程族的谱表示.然后讨论了 mKP方程族的达布变换的费米表示,给出了在达布变换的连续应用下tau函数的费米表示.在此基础上,得到了变换后的tau函数所满足的双线性等式.最后给出了一些双线性等式的例子.第四章主要利用中性自由费米子来研究BKP方程族及其达布变换.首先从两个角度回顾了 BKP方程族.一方面,由中性费米子出发构造BKP方程族,同时也给出了中性费米子的一些关系,另一方面可以将BKP方程族视为在Kupershmidt约化下的mKP方程族.其次BKP方程族的平方本征函数势可以通过其与mKP方程族的关系得到.然后在此基础上,给出了 BKP方程族达布变换的费米表示,进而给出在达布变换作用下tau函数满足的双线性等式.最后给出了一些双线性等式的例子.第五章主要利用自由玻色子研究CKP方程族及其达布变换.首先回顾了CKP方程族的自由玻色子构造,然后得到了修正CKP方程族的双线性等式以及Lax方程.同时,得到了约束CKP方程族的解.接下来通过KP方程族的达布变换和平方本征函数对称之间的关系,CKP方程族达布变换可以被表示为自由玻色子的形式.最后在此基础上,研究了附加对称在CKP的tau函数上的作用.第六章主要对本文研究的主要内容进行了总结,然后探讨了未来可能的研究方向.

关键词： KP方程族 mKP方程族 BKP方程族 CKP方程族修正CKP方程族达布变换双线性等式平方本征函数对称附加对称

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若干非局域可积方程的达布变换及精确解研究

若干非局域可积方程的达布变换及精确解研究

作者：李淼浙江师范大学

学位级别：硕士

孤子理论是数学物理的重要组成部分,其中求孤子方程的精确解是广受学者关注的研究方向之一.本文利用达布变换对非局域Gerdjikov-Ivanov方程和非局域二分量complex modified Korteuweg-de Vries（cmKdV）方程的精确解进行研究.具体内容... 详细信息

孤子理论是数学物理的重要组成部分,其中求孤子方程的精确解是广受学者关注的研究方向之一.本文利用达布变换对非局域Gerdjikov-Ivanov方程和非局域二分量complex modified Korteuweg-de Vries（cmKdV）方程的精确解进行研究.具体内容主要如下:第一章叙述了研究背景,包括孤立子的起源和发展以及达布变换的思想,并对非局域方程和GI方程以及cmKdV方程的研究现状作了简单的介绍.第二章通过达布变换研究非局域GI方程,从Lax对出发,引入规范变换,通过达布变换的性质得到新旧解之间的关系.选择零种子解和非零种子解分别代入谱问题中,得到相应的特征函数,运用代数运算得到非局域方程的精确解,包括亮暗孤子解,呼吸子解,周期波解,W（M）型孤子解.第三章研究了两个非局域二分量cmKdV方程的精确解.通过构造达布变换,给出了它的孤子解,包括在常数背景波和周期波解的背景上的孤子解.通过调整自由参数,发现暗孤子和反暗孤子的相互作用解.

关键词：达布变换非局域GI方程非局域二分量 cmKdV方程孤子解呼吸子解