KP及其相关可积方程族的达布变换

作     者：杨艺 

作者单位：中国矿业大学 

学位级别：硕士

导师姓名：程纪鹏

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：KP方程族 mKP方程族 BKP方程族 CKP方程族 修正CKP方程族 达布变换 双线性等式 平方本征函数对称 附加对称 

摘      要：KP方程族是可积系统领域中的重要研究对象之一,在数学物理中具有广泛的应用.近年来,KP及其相关可积方程族吸引了许多专家学者的兴趣,并且已经取得许多显著的成果.达布变换是一种有效的求解可积系统的方式,通过达布变换,可以得到可积系统的各种类型的解.本文将在Sato理论的框架下,结合无穷维李代数的最高权表示,利用自由费米子与自由玻色子的语言,研究KP及其相关可积方程族的达布变换,以及讨论达布变换的各种应用,包括双线性等式、平方本征函数对称、附加对称等方面.本文共分为六章,具体如下:第一章从KP及其相关方程族,包括修正KP（简称为mKP）方程族,BKP方程族,CKP方程族的研究背景出发,回顾了这些可积方程族的一些基本性质以及达布变换、双线性等式、平方本征函数对称、附加对称的研究情况.最后介绍了本文的主要内容,研究方法与思路以及研究的创新点.第二章主要利用自由费米子来研究KP方程族及其达布变换.首先回顾了自由费米子的性质,并给出了自由费米子的一些重要关系.进而构造出KP方程族的Lax结构,穿衣算子,tau函数等.其次给出了 KP方程族的谱表示.然后利用自由费米子的性质以及谱表示,研究了 KP方程族在各种达布变换作用下tau函数的费米表示,进而给出了变换后的tau函数所满足的双线性等式.最后给出了一些双线性等式的例子.第三章主要利用自由费米子来研究mKP方程族及其达布变换.首先回顾了1次mKP方程族（Kupershmidt-Kiso版本的mKP方程族）的双线性等式,并写出相应的Lax结构.而后回顾了 Miura变换的性质,通过Miura变换从KP方程族的谱表示出发,得出mKP方程族的谱表示.然后讨论了 mKP方程族的达布变换的费米表示,给出了在达布变换的连续应用下tau函数的费米表示.在此基础上,得到了变换后的tau函数所满足的双线性等式.最后给出了一些双线性等式的例子.第四章主要利用中性自由费米子来研究BKP方程族及其达布变换.首先从两个角度回顾了 BKP方程族.一方面,由中性费米子出发构造BKP方程族,同时也给出了中性费米子的一些关系,另一方面可以将BKP方程族视为在Kupershmidt约化下的mKP方程族.其次BKP方程族的平方本征函数势可以通过其与mKP方程族的关系得到.然后在此基础上,给出了 BKP方程族达布变换的费米表示,进而给出在达布变换作用下tau函数满足的双线性等式.最后给出了一些双线性等式的例子.第五章主要利用自由玻色子研究CKP方程族及其达布变换.首先回顾了CKP方程族的自由玻色子构造,然后得到了修正CKP方程族的双线性等式以及Lax方程.同时,得到了约束CKP方程族的解.接下来通过KP方程族的达布变换和平方本征函数对称之间的关系,CKP方程族达布变换可以被表示为自由玻色子的形式.最后在此基础上,研究了附加对称在CKP的tau函数上的作用.第六章主要对本文研究的主要内容进行了总结,然后探讨了未来可能的研究方向.