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不适定问题的拟光滑化方法及其应用

不适定问题的拟光滑化方法及其应用

作者：唐锦萍哈尔滨工业大学

学位级别：硕士

基于Phillips的光滑化思想,在第一类算子方程和第二类算子方程间建立同伦关系,提出拟光滑化方法,并对光滑参数的选取进行一定研究。数值实验结果表明,对模拟真解振荡稍剧烈的问题,该方法是可行的。但对没有振荡的问题,不如光滑化方法有... 详细信息

基于Phillips的光滑化思想,在第一类算子方程和第二类算子方程间建立同伦关系,提出拟光滑化方法,并对光滑参数的选取进行一定研究。数值实验结果表明,对模拟真解振荡稍剧烈的问题,该方法是可行的。但对没有振荡的问题,不如光滑化方法有效,且实际中并不知道真解的振荡情况,因此单一采用任何一种方法都可能不精确,故考虑在拟光滑化方法的基础上进行修正,通过控制权重系数,将两者的效果综合起来。这样,当权重系数小的时候,光滑化方法起主要作用,能较好地模拟连续有轻微振荡的真解;权重系数大的时候,拟光滑化方法起主要作用,能相对较好地模拟振荡稍剧烈的真解。虽然对真解振荡稍剧烈的情况,拟光滑化方法和修正的拟光滑化方法能够相对较好地模拟,但对振荡更剧烈的情况,无论两者中的哪一个,模拟效果都不好。故考虑将定义区间分段,从而降低振荡性,即采用区间分段法,在每一个小区间上应用拟光滑化方法和修正拟光滑化方法求解,再将每个区间上的数值解联合起来分析。数值实验结果表明,区间分段法是非常有效的,并且在每个小区间上,采用拟光滑化方法的效果要比采用光滑化方法的效果好。值得注意的是,区间分段时,最好不要分得太细,否则会影响运算速度。将修正拟光滑化方法与三次样条函数法结合,求解第一类Fredholm积分方程。首先用三次样条函数法对积分方程数值离散,得到病态线性方程组,再用修正拟光滑化方法求解此方程组。数值实验结果表明,方法是有效的。

关键词：不适定问题积分方程正则化光滑化

二维Helmholtz方程不适定问题的一种算子软化正则法

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数学学报（中文版） 2020年第6期63卷 545-556页

作者：何尚琴冯秀芳北方民族大学数学与信息科学学院银川750021 宁夏大学数学统计学院银川750021

本文研究带有混合边界的二维Helmholtz方程不适定问题.为了获得稳定的数值解,利用基于de la Vallee Poussin算子的软化正则方法,得到了正则近似解,给出正则近似解与精确解之间在先验参数选取规则之下的误差估计,并通过数值实验检验了数... 详细信息

本文研究带有混合边界的二维Helmholtz方程不适定问题.为了获得稳定的数值解,利用基于de la Vallee Poussin算子的软化正则方法,得到了正则近似解,给出正则近似解与精确解之间在先验参数选取规则之下的误差估计,并通过数值实验检验了数据有噪声扰动时方法的有效性和稳定性.

关键词： Helmholtz方程不适定问题 de la Vallee Poussin算子软化法误差估计

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不适定问题的邻近牛顿型方法研究及其应用

不适定问题的邻近牛顿型方法研究及其应用

作者：张佳良大连海事大学

学位级别：硕士

在地球物理、图像重构、生物医学、信号处理、控制理论等众多学科领域都涉及到了反问题。由于反问题具有不适定性的特点,这就决定了我们在求解过程中所面临的种种困难。因此,对于不适定问题算法的研究也越来越受到极大的关注,从而极大... 详细信息

在地球物理、图像重构、生物医学、信号处理、控制理论等众多学科领域都涉及到了反问题。由于反问题具有不适定性的特点,这就决定了我们在求解过程中所面临的种种困难。因此,对于不适定问题算法的研究也越来越受到极大的关注,从而极大的推动了求解不适定问题的理论和实践的发展。本文主要研究了不适定问题的邻近牛顿型方法。由于问题的不适定性使得数据微小扰动可能会产生巨大的计算误差,因此采用数值求解时是很困难的。通常情况下,将其归结为一个优化问题进行求解。许多优化问题多表现为若干个凸泛函的相加形式,利用优化问题的这种加性结构,可将复杂问题分解为若干个子问题进行求解,使得每个子问题只包含一个具有特定结构的被加凸泛函,从而可以简化计算、提高效率。邻近牛顿型方法用于求解最小复合凸函数的极小值,一个光滑函数和一个具有简单邻近映射的非光滑函数。该方法继承了牛顿型方法优良的收敛性,同时引用的邻近算子在数学概念上较为简单容易理解。本文运用邻近牛顿型法求解图像重构不适定问题。为了验证算法的有效性,选取了不适定问题中图像重建的两个算例。数值计算结果表明：邻近牛顿型方法可以有效地用于求解不适定问题,为其它类型的各种反问题提供了一个可供参考的理论依据。

关键词：邻近牛顿型方法不适定问题凸优化图像恢复

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不适定问题的正则化理论及其应用

不适定问题的正则化理论及其应用

作者：朱华平武汉理工大学

学位级别：硕士

反问题与不适定问题是现在数学中的一个研究热点问题。问题是适定的指的是问题的解存在，唯一并且稳定，如果有一个不满足，则称为不适定的。不适定问题的求解面临的最大困难是解的不稳定性，即：原始资料小的观测误差（这在实际中是不... 详细信息

反问题与不适定问题是现在数学中的一个研究热点问题。问题是适定的指的是问题的解存在，唯一并且稳定，如果有一个不满足，则称为不适定的。不适定问题的求解面临的最大困难是解的不稳定性，即：原始资料小的观测误差（这在实际中是不可避免的）会导致近似解与真解的严重偏离，这就是不适定性问题的本质困难。求解不适定问题的普遍方法是正则化方法。如何建立有效的正则化方法及算法是反问题和不适定问题研究领域中的重要内容。本文从一些实例出发，介绍了反问题和不适定问题的基本概念，并讨论了线性紧算子方程的Moore-Penrose广义解，得出了Moore-Penrose广义解的不稳定性的结论。介绍了不适定问题正则化的一般理论，主要讨论了各种常用的正则化方法包括Tikhonov正则化，Landweber迭代法，并研究了正则解的误差估计及正则参数的选取问题。 Landweber迭代法对于求解大规模问题是十分有利的，而且比较稳定。目前，Landweber迭代法已进一步发展于求解非线性的不适定问题。但是，Landweber迭代序列收敛速度（特别是当真实解的“光滑性”很差时）是相当慢的。本文给出了一种新的迭代格式，这种迭代格式能够大大加快收敛速度。本文还将Landweber迭代法应用于数值微分问题，将数值微分问题转化为一个特殊的第一类Fredholm积分方程的求解问题，应用文中设计的算法给出了具体的数值实验。线性微分方程中的边界函数识别问题是数学物理中常见的并且是非常重要的问题，该问题的难点在于端点的确定。本文通过Tikhonov正则化方法，将边界函数识别问题归结为泛函的极小值问题，利用Morzove原理确定适当的正则参数后，应用演化算法，求得相应的极小值，从而确定边界函数，并给出了相应的数值实验。

关键词：反问题不适定问题正则化迭代加速演化算法边界函数

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不适定问题的迭代正则化方法研究

不适定问题的迭代正则化方法研究

作者：吕琪武汉理工大学

学位级别：硕士

不适定问题的迭代正则化方法的研究是现在数学物理反问题中研究的一个热点问题。在物理、生物、医学、地质和工程技术领域都存在着大量的不适定问题,比如参数识别问题、非线性不适定Hammerstein积分方程以及求解第一类Fredholm积分方程... 详细信息

不适定问题的迭代正则化方法的研究是现在数学物理反问题中研究的一个热点问题。在物理、生物、医学、地质和工程技术领域都存在着大量的不适定问题,比如参数识别问题、非线性不适定Hammerstein积分方程以及求解第一类Fredholm积分方程等。而不适定问题的求解又面临着一个严峻的问题,那就是近似解的不稳定性,当所求问题的方程右端数据有误差时,方程的解与精确解之间存在较大的误差。通常求解此类不适定问题的典型方法是正则化方法,如何构建有效的正则化方法对于求解不适定问题具有重要的理论和现实意义。首先,针对如何建立有效的正则化方法来求解不适定问题,可将不适定问题分为线性不适定问题和非线性不适定问题。本文从一些实际例子出发,研究了反问题和不适定问题的相关基本概念、线性和非线性不适定问题的一般理论。并结合不适定问题给出了正则化方法所对应的迭代停止准则。其次,在求解不适定问题的方法中,主要讨论了几种常用的正则化方法。比如Tikhonov正则化方法、Landweber迭代法和修正的Landweber迭代法。并根据不同性质（线性或非线性）的不适定问题给出了不同的Landweber迭代法的迭代格式。其中,针对线性的Landweber迭代法,该论文还给出了加速Landweber迭代法的几个方法,并将其中具体一种加速迭代格式运用到求解第一类Fredholm积分方程里面进行数值试验。实验结果表明,该加速的Landweber迭代算法能有效的求解此不适定问题,且能加快迭代序列的收敛速度。最后,论文将非线性不适定问题中提出的非线性Landweber迭代法和修正Landweber迭代法运用到求解非线性不适定Hammerstein积分方程中进行数值试验。通过进行对比数值试验,结果表明了修正Landweber迭代法更加优越。

关键词：反问题不适定问题正则化迭代加速非线性

测量平差中不适定问题解的统一表达与选权拟合法

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测绘学报 2004年第4期33卷 283-288页

作者：欧吉坤中国科学院测量与地球物理研究所动力大地测量重点实验室湖北武汉430077

将测量平差中常见的几种数学模型分析比较,发现它们的解可以统一表达,形式上,都可以由吉洪诺夫正则化原理导出。在拟稳平差思想的启迪下,作者提出选权拟合法解不适定问题的思路。作者强调,解不适定问题应根据具体问题对参数作具体分析,... 详细信息

将测量平差中常见的几种数学模型分析比较,发现它们的解可以统一表达,形式上,都可以由吉洪诺夫正则化原理导出。在拟稳平差思想的启迪下,作者提出选权拟合法解不适定问题的思路。作者强调,解不适定问题应根据具体问题对参数作具体分析,找出合理的权阵或参数约束矩阵,利用统一的解式,可以得到符合客观实际的结果。最后介绍两个新解法算例。

关键词：不适定问题拟合法矩阵种数算例正则化参数题解解法统一

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不适定问题的正则化解算方法设计及应用

不适定问题的正则化解算方法设计及应用

作者：冯宝宾成都理工大学

学位级别：硕士

不适定问题是源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实际问题。本文主要研究在实际问题离散化后,其得到的大规模线性方程组通常具有高度不适定性,需要高效的正则化数值算法进行求解,如何根据其严重病态性质,设计高效的正则化方... 详细信息

不适定问题是源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实际问题。本文主要研究在实际问题离散化后,其得到的大规模线性方程组通常具有高度不适定性,需要高效的正则化数值算法进行求解,如何根据其严重病态性质,设计高效的正则化方法求解矩阵方程。本文首先介绍了与不适定问题相关的数学理论,接着介绍了求解不适定问题的正则化理论,常用的正则化方法以及正则化参数的选取。Tikhonov正则化方法是解决病态反问题的典型方法,其中,正则化项可以看作是包含了问题的先验信息,它的引入能改善问题的病态性,而通过选取不同的正则算子可以改变正则化项所包含的先验信息。为了进一步增强反演的稳定性及减少多解性,本文基于标准形式的Tikhonov正则化方法,一方面,提出了改进的Tikhonov正则化方法;另一方面,通过引入带有二阶正则算子的正则化项,设计了一种具有双正则化项的改进的双参数正则化方法。正则化参数是实现正则化算法的关键,但正则化参数的最优选取问题却一直没有统一的,易于实现的解决方法。本文应用Morozov的偏差原理,L-曲线准则和广义交叉校验准则的联合计算来确定最佳正则化参数,获得了更加稳定的结果。然后,本文进行了理论模型测试,反演结果表明,在各种信噪比水平下,相对于截断奇异值分解法,两种带约束的最小二乘法,共轭梯度法和标准Tikhonov正则化方法,本文设计的改进的Tikhonov正则化方法和改进的双参数正则化方法均具有更高的反演计算精度,更加有效,对于含有噪声的数据是更加稳定的。最后,本文介绍了地球物理学中的双频电磁波电导率反演背景,接着根据电导率反演成像方程,通过实际观测数据反演计算了实际问题中的电导率。数值反演结果也表明,相对于截断奇异值分解法,两种带约束的最小二乘法,共轭梯度法和标准Tikhonov正则化方法,本文设计的改进的Tikhonov正则化方法和改进的双参数正则化方法得到了更加精确细致可靠的电导率成像图,并且电导率成像图与实际地质特征相吻合。

关键词：反演双参数正则化不适定问题电导率成像