不适定问题的Krylov子空间方法研究及性能分析

作     者：王培 

作者单位：电子科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：荆燕飞

授予年度：2015年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Krylov子空间方法 不适定问题 HACGLS方法 近似解 性能分析 

摘      要：随着科学技术和工程计算的飞速发展,许多实际问题经常需要求解线性不适定问题离散所得的大型线性方程组。例如,第一类Fredholm积分方程问题、反向热导方程的边值问题、数理方程反问题等。求解这类问题的关键是求解其相应的最小二乘问题。对于小规模不适定问题的求解,传统的正则化方法较为常用。但是由于计算量和存储量的限制,传统的正则化方法在求解大规模离散不适定问题时常常不适用。Krylov子空间方法是目前求解大型不适定问题最为常用的迭代正则化方法。由于科学工程技术发展的需要,陆续涌现出了许多求解工业计算模型中不适定问题的Krylov子空间算法,以及许多算法的可用工具箱。Krylov子空间方法处理这类大规模问题时,其在数值计算中所展现的特点,体现出这类方法在求解此类相关问题时的卓越之处。例如,其在计算中收敛速度快:矩阵不需分割改变,甚至不需被显示形成。虽然这类方法受误差干扰会出现半收敛现象,但选择合适的正则化参数亦能得到稳定的近似解,因此Krylov子空间方法成为处理这类问题较为强大的工具。本论文给出了不适定问题的研究概况,阐述了近年来求解离散不适定问题的Krylov子空间方法的相关进展和常用的方法类型,包括经典方法、法方法、扩张方法和灵活预处理方法,并分析了不同算法间的区别与联系以及部分算法的迭代终止准则。基于用右端向量扩张CGLS的思想,以及用用户提供的子空间的基向量扩张GMRES的思想,我们用右端向量和用户提供的子空间的一组基向量同时扩充CGLS,提出了一种新型混合扩张CGLS方法—HACGLS方法。通过求解不适定问题的数值实验表明,HACGLS方法比标准的CGLS方法,和分别用右端向量、特定子空间的基向量扩张CGLS产生的Krylov子空间的方法的求解精度高。同时验证了CGLS类Krylov子空间方法在求解这类问题方面的优越之处。