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大型离散不适定问题的广义G-K双对角正则化算法

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工程数学学报 2024年第3期41卷 432-446页

作者：杨思雨王正盛李伟徐贵力南京航空航天大学数学学院南京210016 飞行器数学建模与高性能计算工信部重点实验室南京210016 南京航空航天大学自动化学院南京210016

不适定问题常常出现于科学和工程等诸多领域,求解此类问题的难点在于其解对扰动的高度敏感性。正则化方法由于用与原不适定问题相邻近的适定问题的解逼近原问题的解,成为求解不适定问题的一类有效算法。近来,用不同范数分别约束保真项... 详细信息

不适定问题常常出现于科学和工程等诸多领域,求解此类问题的难点在于其解对扰动的高度敏感性。正则化方法由于用与原不适定问题相邻近的适定问题的解逼近原问题的解,成为求解不适定问题的一类有效算法。近来,用不同范数分别约束保真项和正则项的极小化模型求解不适定问题的正则化方法引起了广泛关注。本文针对大型离散不适定问题的不同范数约束优化模型,基于Majorization-Minimization优化算法和Golub-Kahan Lanczos双对角化过程,采用基于偏差原理的正则化参数选择策略,提出了一种求解大型离散不适定问题的广义Golub-Kahan双对角化正则化算法,并给出了所提算法的收敛性理论证明。本文对新算法进行了数值实验,并与已有算法进行了比较,数值结果表明所提算法与已有算法相比在计算效能等方面更具优势;新算法应用到图像恢复问题的算例验证了新算法在图像恢复应用中的实用性和有效性。新算法由于其更低迭代运算和更高计算效率而更具吸引力。

关键词： l_(p)−l_(q)极小化不适定问题迭代正则化方法 Golub-Kahan Lanczos双对角化

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球型区域上两类不适定问题的研究

球型区域上两类不适定问题的研究

作者：耿肖肖江南大学

学位级别：硕士

近几年来,数学物理反问题由于其广泛的应用背景而受到了国内外学者的密切关注.其中矩型区域上的各类反问题已经有了很好的发展,而某些特殊的对称区域上相关反问题的研究成果还相对较少.故本文考虑球型区域上的反源问题和反向问题.这两... 详细信息

近几年来,数学物理反问题由于其广泛的应用背景而受到了国内外学者的密切关注.其中矩型区域上的各类反问题已经有了很好的发展,而某些特殊的对称区域上相关反问题的研究成果还相对较少.故本文考虑球型区域上的反源问题和反向问题.这两类问题都是不适定的,传统方法得到的解常常会严重偏离真实解,因而需要利用正则化方法来获得可接受的近似解.本文的内容主要由以下几章构成.第一章主要介绍了研究背景和意义,以及国内外研究现状.第二章给出了一些辅助性知识.第三章研究了球型区域上具有时间相关扩散系数的热传导方程的反源、反向问题.对于这两个问题,我们分析了它们的不适定性,并分别使用迭代正则化和投影迭代正则化得到了源项和初值的正则近似解.同时获得了精确解和正则近似解在先验和后验规则下的收敛性误差估计.在数值实现部分,我们通过几个不同类型的算例验证了所采用的正则化方法的有效性和稳定性.第四章研究了球型区域上时间分数阶扩散/波方程的两个不适定问题.具体来说,一是识别球型区域上时间分数阶扩散方程(0＜α＜1)具有变量分离形式的源项F(r,t)=f(r)q(t)中的f(r),其中q(t)是已知的;二是重建球型区域上时间分数阶波方程(1＜α＜2)的未知初值u(r,0)=φ(r),其中另一个初值u(r,0)=ψ(r)是已知的.我们使用迭代正则化方法来处理这两个问题,都获得了稳定的正则近似解.同时也都得到了精确解和正则近似解在先验和后验规则下的H(?)lder型误差估计式.数值结果表明该方法对于处理分数阶情形热传导方程的反源、反向问题也有着很好的效果.

关键词：球型区域不适定问题反源问题反向问题迭代正则化方法

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不适定问题的邻近牛顿型方法研究及其应用

不适定问题的邻近牛顿型方法研究及其应用

作者：张佳良大连海事大学

学位级别：硕士

在地球物理、图像重构、生物医学、信号处理、控制理论等众多学科领域都涉及到了反问题。由于反问题具有不适定性的特点,这就决定了我们在求解过程中所面临的种种困难。因此,对于不适定问题算法的研究也越来越受到极大的关注,从而极大... 详细信息

在地球物理、图像重构、生物医学、信号处理、控制理论等众多学科领域都涉及到了反问题。由于反问题具有不适定性的特点,这就决定了我们在求解过程中所面临的种种困难。因此,对于不适定问题算法的研究也越来越受到极大的关注,从而极大的推动了求解不适定问题的理论和实践的发展。本文主要研究了不适定问题的邻近牛顿型方法。由于问题的不适定性使得数据微小扰动可能会产生巨大的计算误差,因此采用数值求解时是很困难的。通常情况下,将其归结为一个优化问题进行求解。许多优化问题多表现为若干个凸泛函的相加形式,利用优化问题的这种加性结构,可将复杂问题分解为若干个子问题进行求解,使得每个子问题只包含一个具有特定结构的被加凸泛函,从而可以简化计算、提高效率。邻近牛顿型方法用于求解最小复合凸函数的极小值,一个光滑函数和一个具有简单邻近映射的非光滑函数。该方法继承了牛顿型方法优良的收敛性,同时引用的邻近算子在数学概念上较为简单容易理解。本文运用邻近牛顿型法求解图像重构不适定问题。为了验证算法的有效性,选取了不适定问题中图像重建的两个算例。数值计算结果表明：邻近牛顿型方法可以有效地用于求解不适定问题,为其它类型的各种反问题提供了一个可供参考的理论依据。

关键词：邻近牛顿型方法不适定问题凸优化图像恢复

一种求解大型离散不适定问题的正则化随机Kaczmarz算法

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Transactions of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics 2020年第5期37卷 787-795页

作者：刘凤鸣王正盛杨思雨徐贵力南京航空航天大学理学院南京211106 南京航空航天大学自动化学院南京211106

Tikhonov正则化是求解线性离散不适定问题的有力工具,然而,针对大规模问题的有效方法仍然缺乏。Kaczmarz方法由于其简单性,是求解大型线性方程组的有效迭代投影算法。因此,本文结合Tikhonov正则化和随机Kaczmarz方法,提出了一种求解大... 详细信息

Tikhonov正则化是求解线性离散不适定问题的有力工具,然而,针对大规模问题的有效方法仍然缺乏。Kaczmarz方法由于其简单性,是求解大型线性方程组的有效迭代投影算法。因此,本文结合Tikhonov正则化和随机Kaczmarz方法,提出了一种求解大型离散不适定问题的正则化随机扩展Kaczmarz(Regularized randomized extended Kaczmarz,RREK)算法,同时证明了算法的收敛性。数值实验表明,与现有的随机扩展Kaczmarz(Randomized extended Kaczmarz,REK)方法相比,该算法具有更高的精度,图像恢复质量更优。

关键词：不适定问题 Tikhonov正则化随机扩展Kaczmarz算法图像恢复

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不适定问题的一类投影迭代法

不适定问题的一类投影迭代法

作者：王醒武汉大学

学位级别：硕士

本文利用不适定问题的离散正则化理论,推广了用以求解(有限维)奇异线性方程组的一般非固定迭代法(General Nonstationary Iteration),得到了一类投影迭代格式,使之可以用以求解不适定的第一类算子方程。在精确数据和数据有微小扰动的情... 详细信息

本文利用不适定问题的离散正则化理论,推广了用以求解(有限维)奇异线性方程组的一般非固定迭代法(General Nonstationary Iteration),得到了一类投影迭代格式,使之可以用以求解不适定的第一类算子方程。在精确数据和数据有微小扰动的情况下,分别给出了这类投影迭代格式的收敛条件(包括收敛性证明),停机规则以及参数选择策略。作为推论,本文还给出了这类投影迭代格式的商收敛条件及其等价的半范收敛条件。作为应用,本文还讨论了如何利用这类投影迭代格式求解一个具体的积分方程,包括其适合的L2空间离散方法,迭代生成算子的选取方法,停机准则,参数选择策略,以及相应的误差分析。

关键词：不适定问题投影迭代格式 Moore-Penrose广义逆停机准则参数选择策略正交投影商收敛

不适定问题的Krylov子空间方法研究及性能分析

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不适定问题的Krylov子空间方法研究及性能分析

作者：王培电子科技大学

学位级别：硕士

随着科学技术和工程计算的飞速发展,许多实际问题经常需要求解线性不适定问题离散所得的大型线性方程组。例如,第一类Fredholm积分方程问题、反向热导方程的边值问题、数理方程反问题等。求解这类问题的关键是求解其相应的最小二乘问题... 详细信息

随着科学技术和工程计算的飞速发展,许多实际问题经常需要求解线性不适定问题离散所得的大型线性方程组。例如,第一类Fredholm积分方程问题、反向热导方程的边值问题、数理方程反问题等。求解这类问题的关键是求解其相应的最小二乘问题。对于小规模不适定问题的求解,传统的正则化方法较为常用。但是由于计算量和存储量的限制,传统的正则化方法在求解大规模离散不适定问题时常常不适用。Krylov子空间方法是目前求解大型不适定问题最为常用的迭代正则化方法。由于科学工程技术发展的需要,陆续涌现出了许多求解工业计算模型中不适定问题的Krylov子空间算法,以及许多算法的可用工具箱。Krylov子空间方法处理这类大规模问题时,其在数值计算中所展现的特点,体现出这类方法在求解此类相关问题时的卓越之处。例如,其在计算中收敛速度快:矩阵不需分割改变,甚至不需被显示形成。虽然这类方法受误差干扰会出现半收敛现象,但选择合适的正则化参数亦能得到稳定的近似解,因此Krylov子空间方法成为处理这类问题较为强大的工具。本论文给出了不适定问题的研究概况,阐述了近年来求解离散不适定问题的Krylov子空间方法的相关进展和常用的方法类型,包括经典方法、法方法、扩张方法和灵活预处理方法,并分析了不同算法间的区别与联系以及部分算法的迭代终止准则。基于用右端向量扩张CGLS的思想,以及用用户提供的子空间的基向量扩张GMRES的思想,我们用右端向量和用户提供的子空间的一组基向量同时扩充CGLS,提出了一种新型混合扩张CGLS方法—HACGLS方法。通过求解不适定问题的数值实验表明,HACGLS方法比标准的CGLS方法,和分别用右端向量、特定子空间的基向量扩张CGLS产生的Krylov子空间的方法的求解精度高。同时验证了CGLS类Krylov子空间方法在求解这类问题方面的优越之处。

关键词： Krylov子空间方法不适定问题 HACGLS方法近似解性能分析

二维Helmholtz方程不适定问题的一种算子软化正则法

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数学学报（中文版） 2020年第6期63卷 545-556页

作者：何尚琴冯秀芳北方民族大学数学与信息科学学院银川750021 宁夏大学数学统计学院银川750021

本文研究带有混合边界的二维Helmholtz方程不适定问题.为了获得稳定的数值解,利用基于de la Vallee Poussin算子的软化正则方法,得到了正则近似解,给出正则近似解与精确解之间在先验参数选取规则之下的误差估计,并通过数值实验检验了数... 详细信息

本文研究带有混合边界的二维Helmholtz方程不适定问题.为了获得稳定的数值解,利用基于de la Vallee Poussin算子的软化正则方法,得到了正则近似解,给出正则近似解与精确解之间在先验参数选取规则之下的误差估计,并通过数值实验检验了数据有噪声扰动时方法的有效性和稳定性.

关键词： Helmholtz方程不适定问题 de la Vallee Poussin算子软化法误差估计

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非线性不适定问题的两步迭代方法

非线性不适定问题的两步迭代方法

作者：李国斌华东师范大学

学位级别：硕士

自上世纪60年代以来,不适定问题的研究在很多学科领域中备受关注。如物理学、地理学、信息科学等领域中的很多问题都是不适定的。而对于不适定问题的求解往往不能用直接的方法,否则在观测数据有误差的情形下将会导致求解结果的错误。求... 详细信息

自上世纪60年代以来,不适定问题的研究在很多学科领域中备受关注。如物理学、地理学、信息科学等领域中的很多问题都是不适定的。而对于不适定问题的求解往往不能用直接的方法,否则在观测数据有误差的情形下将会导致求解结果的错误。求解不适定问题的一个主要思想就是正则化思想。这种思想主要就是用一系列适定问题的解去逼近原不适定问题的解。其次,数值迭代算法加上正则化思想在求解不适定问题中有着不俗的表现,也是目前常用的解不适定问题的基本手段之一。本文主要探讨的求解不适定问题的方法为正则化的两步迭代方法。针对非线性不适定方程F(x)=y,已有不少经典的迭代算法,如Landweber法、Levenberg-Marquardt等。本文首先提出的是一种两步的Levenberg-Marquardt方法,该方法与单步的Levenberg-Marquardt方法相比,主要的优势在于有效地减少了导算子的计算量,并且增加了不同的正则化参数选取与可调节的步长因子,使得两步的Levenberg-Marquardt方法更为灵活实用。其次,本文提出了一种两步正则化Gauss-Newton方法,同样相对于单步方法,其可以减小运算量,提高运算效率。本文主要分为五个章节:第一章绪论主要讲述不适定问题的发展历史与研究现状。第二章预备知识为一些分析学与线性代数的基本知识,为后面理论章节做铺垫。第三章主要对两步的Levenberg-Marquardt方法进行了收敛性分析。主要给出了其局部收敛性定理、误差单调性定理以及对于迭代步数的估计。第四章主要对两步的正则化Gauss-Newton方法做了收敛性分析。主要给出了其迭代的误差估计。第五章给出了两个数值例子:参数识别的例子与卷积方程的例子。通过数值算例,将两步的Levenberg-Marquardt方法与两步正则化Gauss-Newton方法与一些经典的正则化迭代算法对比,得出两步方法可以减少运算时间以及迭代误差的结论。

关键词：不适定问题正则化迭代法 Levenberg-Marquardt Gauss-Newton 两步法

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不适定问题的迭代正则化方法研究

不适定问题的迭代正则化方法研究

作者：吕琪武汉理工大学

学位级别：硕士

不适定问题的迭代正则化方法的研究是现在数学物理反问题中研究的一个热点问题。在物理、生物、医学、地质和工程技术领域都存在着大量的不适定问题,比如参数识别问题、非线性不适定Hammerstein积分方程以及求解第一类Fredholm积分方程... 详细信息

不适定问题的迭代正则化方法的研究是现在数学物理反问题中研究的一个热点问题。在物理、生物、医学、地质和工程技术领域都存在着大量的不适定问题,比如参数识别问题、非线性不适定Hammerstein积分方程以及求解第一类Fredholm积分方程等。而不适定问题的求解又面临着一个严峻的问题,那就是近似解的不稳定性,当所求问题的方程右端数据有误差时,方程的解与精确解之间存在较大的误差。通常求解此类不适定问题的典型方法是正则化方法,如何构建有效的正则化方法对于求解不适定问题具有重要的理论和现实意义。首先,针对如何建立有效的正则化方法来求解不适定问题,可将不适定问题分为线性不适定问题和非线性不适定问题。本文从一些实际例子出发,研究了反问题和不适定问题的相关基本概念、线性和非线性不适定问题的一般理论。并结合不适定问题给出了正则化方法所对应的迭代停止准则。其次,在求解不适定问题的方法中,主要讨论了几种常用的正则化方法。比如Tikhonov正则化方法、Landweber迭代法和修正的Landweber迭代法。并根据不同性质（线性或非线性）的不适定问题给出了不同的Landweber迭代法的迭代格式。其中,针对线性的Landweber迭代法,该论文还给出了加速Landweber迭代法的几个方法,并将其中具体一种加速迭代格式运用到求解第一类Fredholm积分方程里面进行数值试验。实验结果表明,该加速的Landweber迭代算法能有效的求解此不适定问题,且能加快迭代序列的收敛速度。最后,论文将非线性不适定问题中提出的非线性Landweber迭代法和修正Landweber迭代法运用到求解非线性不适定Hammerstein积分方程中进行数值试验。通过进行对比数值试验,结果表明了修正Landweber迭代法更加优越。

关键词：反问题不适定问题正则化迭代加速非线性