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矩阵微分方程的振动性理论研究

矩阵微分方程的振动性理论研究

作者：马翠芹曲阜师范大学

学位级别：硕士

矩阵微分方程的振动性理论起源于各种不同的应用数学和物理领域,是微分方程理论中的一个重要分支。在应用数学中得到了迅速发展。本文利用推广的黎卡提变换,积分平均技术及正线性泛函对线性矩阵Hamiltonian系统和含阻尼项的二阶矩阵... 详细信息

矩阵微分方程的振动性理论起源于各种不同的应用数学和物理领域,是微分方程理论中的一个重要分支。在应用数学中得到了迅速发展。本文利用推广的黎卡提变换,积分平均技术及正线性泛函对线性矩阵Hamiltonian系统和含阻尼项的二阶矩阵微分方程进行了进一步的研究得到了一些新的成果。根据内容本文分为以下三章: 第一章概述了本文研究的主要问题的重要性。第二章在这一章中,我们分两节研究了线性矩阵Hamiltonian系统的振动性判定准则。其中X,Y,A(t),B(t),C(t)是实n×n矩阵值函数,B(t),C(t)为对称矩阵,B(t)为正定的。即:B(t)=B(t)>0,C(t)=C(t)。这里用M表示M的转置。本章中,我们建立了线性矩阵Hamiltonian系统(2.1.1)振动的若干充分条件。其中的非平凡解,预备解,系统的振动性我们如下定义: 定义1 系统(2.1.1)的一个解(X(t),Y(t))称为非平凡解。如果至少存在一个t∈[t,∞),使得det X(t)≠0。定义2 称系统(2.1.1)的一个非平凡解(X(t),Y(t))为预备解。如果对任意的t∈[t,∞)都满足 X(t)Y(t)-Y(t)X(t)=0。定义3 称系统(2.1.1)为振动的。如果对系统(2.1.1)的每一个非平凡预备解(X(t),Y(t)),对任意的T≥t,总存在t≥T使得det X(t)=0。其主要结果如下:

关键词：矩阵微分方程振动性线性黎卡提变换正线性泛函

关于二阶矩阵微分方程Y″+f(t)Y′+Q(t)Y=0的振动性

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四川大学学报（自然科学版） 1999年第5期36卷 845-850页

作者：张利平自贡师专四川自贡643000

对于二阶矩阵微分方程Ｙ″＋ｆ（ｔ）Ｙ′＋Ｑ（ｔ）Ｙ＝０，ｔ∈［ｔ０，＋ ∞），其中Ｑ（ｔ），Ｙ是ｎ阶实连续矩阵函数，且Ｑ（ｔ）是对称矩阵，ｆ（ｔ）是纯量实连续函数，ｔ∈［ｔ０，＋ ∞）．研究了其振动性，得到了系统（１... 详细信息

对于二阶矩阵微分方程Ｙ″＋ｆ（ｔ）Ｙ′＋Ｑ（ｔ）Ｙ＝０，ｔ∈［ｔ０，＋ ∞），其中Ｑ（ｔ），Ｙ是ｎ阶实连续矩阵函数，且Ｑ（ｔ）是对称矩阵，ｆ（ｔ）是纯量实连续函数，ｔ∈［ｔ０，＋ ∞）．研究了其振动性，得到了系统（１）振动的若干充分判据．所得结果推广了二阶矩阵微分方程Ｙ″＋Ｑ（ｔ）Ｙ＝０的李宪奎的结果，以及纯量方程著名的Ｋａｍｅｎｅｖ及Ｙａｎ的结果．

关键词：矩阵微分方程振动性上极限下极限

一类二阶非线性矩阵微分方程的振动性定理(英文)

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华东师范大学学报（自然科学版） 2007年第5期 34-38页

作者：徐衍聪孟凡伟华东师范大学数学系上海200062 曲阜师范大学数学系山东曲阜273165

建立了二阶非线性矩阵微分系统（a（t）X＇（t））＇＋b（t）X＇（t）＋Q（t）f（X（t））=0，t≥t0〉0的振动性标准，这里Q（t），f＇（X（t））是n×n矩阵，f＇（X（t））正定，a（t）和b（t）实值函数.引进了一个特殊函数Ф（t，s，r... 详细信息

建立了二阶非线性矩阵微分系统（a（t）X＇（t））＇＋b（t）X＇（t）＋Q（t）f（X（t））=0，t≥t0〉0的振动性标准，这里Q（t），f＇（X（t））是n×n矩阵，f＇（X（t））正定，a（t）和b（t）实值函数.引进了一个特殊函数Ф（t，s，r）=（t-s）^α（s-r）^β，α，β〉1/2是常数，r≥t0，得到了形式为lim supλ1[.]〉const的振动性标准，改进了一些已知的结果.

关键词：振动性二阶矩阵微分方程

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矩阵微分方程的等度有界性(英文)

纯粹数学与应用数学 1999年第3期15卷 53-58,21页

作者：王林山四川大学数学学院

用矩阵李雅普诺夫函数研究了矩阵微分方程的等度有界性，给出了非自治矩阵微分方程等度有界性的几个判定定理。

关键词：矩阵微分方程矩阵李雅普诺夫函数等度有界性

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二阶矩阵微分方程的振动性理论研究

二阶矩阵微分方程的振动性理论研究

作者：徐衍聪曲阜师范大学

学位级别：硕士

伴随着科学技术日新月异的发展,在数学、物理学、化学、生物学等学科领域,一方面实际问题中不断涌现出大量的非线性问题需要人们去深入研究,另一方面近几十年来的非线性微分方程问题有了巨大的发展,其丰富的理论和先进的方法日渐成熟。... 详细信息

伴随着科学技术日新月异的发展,在数学、物理学、化学、生物学等学科领域,一方面实际问题中不断涌现出大量的非线性问题需要人们去深入研究,另一方面近几十年来的非线性微分方程问题有了巨大的发展,其丰富的理论和先进的方法日渐成熟。矩阵微分方程理论是微分方程理论中的一个重要分支,它具有深刻的物理背景和数学模型,这一理论在应用数学中得到了迅速的发展。本文利用推广的黎卡提变换及积分平均技术,对含阻尼项的矩阵微分方程进行了进一步的研究,得到了一些新的成果。根据内容本文分为以下三章: 第一章概述了本文研究的主要问题。第二章研究了一类矩阵微分方程: X″(t)+R(t)X′(t)+Q(t)X(t)=0,t≥t>0, (1)的解的振动性和区间振动性。其中X(t),R(t),Q(t)是n×n阶实值连续矩阵,R(t)和Q(t)是对称的。定义1称系统(1)的解X(t)∈C((t,∞),R)是非平凡的,如果至少有一个t∈[t,∞)使detX(t)≠0。定义2称系统(1)的解X(t)是预备的,如果 X(t)X′(t)≡(X(t))′X(t) X(t)R(t)X′(t)≡(X(t)′R(t)X(t),t∈[t,∞)。这里任意矩阵A为A的转置矩阵,若为对称矩阵时,其特征值是实数。定义3称系统(1)的一个预备解X(t)在[t,∞)是振动的,如果一个非平凡预备解X(t)的行列式对任意T>t,存在t>T使detX(t)=0。否则称为非振动的。在本节中,D(a,6)代表 D(a,6)≡{u∈C[a,6],u(t)≠0,u(a)=u(b)=0}。 (2)

关键词：矩阵微分方程振动性矩阵阻尼项积分平均黎卡提变换

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矩阵微分方程通解的待定矩阵法

佛山科学技术学院学报（自然科学版） 2016年第2期34卷 1-4,16页

作者：吴幼明梁丽枝吴文峰佛山科学技术学院数学系广东佛山528000 爱荷华威斯莱大学商业管理系爱荷华芒特普莱森特52641

基于矩阵微分方程理论,采用待定矩阵方法,推导了非齐次项为三角函数与指数函数乘积的一类常系数矩阵微分方程的通解公式。进行了2种特殊情况的讨论,利用算例验证矩阵微分方程通解公式的正确性。丰富了矩阵微分方程的解法理论。

关键词：矩阵微分方程待定矩阵方法通解

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两类矩阵微分方程的低秩分裂算法

两类矩阵微分方程的低秩分裂算法

作者：王颖重庆师范大学

学位级别：硕士

矩阵微分方程在许多领域中都有着较为广泛的应用。其中较为重要的是微分Lyapunov方程和微分Riccati方程,这两类线性和非线性矩阵方程是科学与工程中探讨的重要课题之一,被应用于最优控制理论,动态规划,线性动力系统的模型降阶,统计过滤... 详细信息

矩阵微分方程在许多领域中都有着较为广泛的应用。其中较为重要的是微分Lyapunov方程和微分Riccati方程,这两类线性和非线性矩阵方程是科学与工程中探讨的重要课题之一,被应用于最优控制理论,动态规划,线性动力系统的模型降阶,统计过滤等领域,由于矩阵微分方程解析解很难求得,那么其数值解法则成为了众多学者研究重心。改进的Douglas分裂方法是一种基于分裂思想的求解微分方程的新方法,考虑将方程右端的复杂函数分裂为多个简单函数,易于快速计算且具有良好的稳定性。本文通过将这一方法应用至矩阵微分方程中,利用方程组的自然三项分裂,得到了矩阵微分方程的改进Douglas分裂格式,该算法的实现只需要在每个时间步求解一个具有多右端项的线性代数系统,并具有良好的稳定性和较高的精度。随后文中就微分Lyapunov方程和微分Riccati方程求解格式进行了研究,证明了方法具有二阶精度,同时我们还证明了该方法能保持微分Lyapunov方程解的对称半正定性。此外,在提出改进的Douglas分裂方法基础上,我们还构造了大规模微分Lyapunov方程和微分Riccati方程的低秩算法,提升了计算和存储效率,最后对低秩算法进行了理论的先验误差分析,数值结果验证了理论分析的正确性。本文主要内容如下:第一部分研究了矩阵微分方程的改进Douglas分裂算法,证明了满秩方法的二阶收敛性以及微分Lyapunov方程解的对称半正定性。该部分通过方程的自然分裂,应用改进Douglas分裂格式,迭代求解出微分方程数值解,证明了方法的二阶收敛性及微分Lyapunov方程求解格式的保结构性,该算法只需要在每个时间步求解一个具有多右端项的线性代数系统,无需在每一时间步求解代数Lyapunov方程。最后进行数值实验,与中点公式、Rosenbrock方法进行对比,说明了算法的有效性。第二部分研究了微分Lyapunov方程和微分Riccati方程的低秩改进Douglas分裂算法,证明了低秩算法的收敛性。该部分基于全秩方法求得的微分Lyapunov方程和微分Riccati方程的数值解,应用QR分解和SVD奇异值分解对数值解列压缩,得到算法的低秩解,证明了低秩算法收敛阶为2。最后本文给出数值实验,验证了该算法的收敛性,类比满秩的改进Douglas分裂算法,突出了低秩改进Douglas分裂算法的优越性。

关键词：矩阵微分方程微分Lyapunov方程微分Riccati方程改进的Douglas分裂算法低秩近似

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二阶线性自共轭矩阵微分方程解的定性

中山大学学报(自然科学版)(中英文) 1965年第3期 289-301页

作者：沈舜鶯中山大学数学力学系

本文讨论微分矩阵方程(1)。在§1举出振动的、强振动的、和非振动的解的某些充分条件。在§2引进与欢曲正弦余弦比拟的矩阵函数,从此推得在有限幅度内的非振动定理。最后,在§§3,4考虑这些矩阵解的渐近性态和有界性的条件。

关键词：矩阵微分方程余弦正弦引理非振动性振动定理

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特殊类型高阶矩阵微分方程通解

广东第二师范学院学报 2020年第3期40卷 57-62页

作者：吴文峰吴幼明代顿大学数学系俄亥俄代顿45469 佛山科学技术学院数学系广东佛山528000

基于微分方程组理论和矩阵理论,采用欧拉方法和待定矩阵方法,给出一类常系数高阶矩阵微分方程组Af″-bBf′-Bf=t(x)的通解公式,通过算例验证了所得通解公式的正确性.利用该通解公式求解高阶矩阵微分方程比采用其他方法求解更简捷,且具... 详细信息

基于微分方程组理论和矩阵理论,采用欧拉方法和待定矩阵方法,给出一类常系数高阶矩阵微分方程组Af″-bBf′-Bf=t(x)的通解公式,通过算例验证了所得通解公式的正确性.利用该通解公式求解高阶矩阵微分方程比采用其他方法求解更简捷,且具有通用、严谨、清晰和实用等优点,可为高阶矩阵微分方程的解法研究提供一条有效的途径.

关键词：矩阵微分方程欧拉方法通解公式待定矩阵法特解