欧拉梁的哈密顿变分推导及其应用研究

作     者：唐宇 

作者单位：重庆交通大学 

学位级别：硕士

导师姓名：郑罡

授予年度：2024年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：哈密顿体系 辛空间 拉格朗日乘子法 欧拉梁 Winkler地基 

摘      要：欧拉梁模型在工程结构中被广泛应用,其波传播和自由振动问题通常归结为微分方程组的求解。针对以上问题,以往的研究主要集中在单变量的拉格朗日体系下进行,但是求解过程中出现的高阶微分方程造成了求解的困难。不同于拉格朗日体系,多类变量的哈密顿体系通过引入对偶变量,降低了方程的阶次,使得多种数学物理方法得以应用,优化了微分方程的求解。 哈密顿体系作为三大力学体系之一,在力学问题的研究中得到了广泛应用。然而,关于欧拉梁理论的哈密顿体系表述,在文献中却鲜有提及。哈密顿变分推导的关键是引入对偶变量,但在欧拉梁的变分推导中,传统的勒让德变换法在引入对偶变量时失效,需要寻求新的方法来克服这一问题。为此,本文基于哈密顿变分原理,结合欧拉梁理论的假设条件,采用适当的变量代换,成功引入对偶变量。在此基础上,进一步推导出欧拉梁的哈密顿对偶方程,从而构建了一套适用于欧拉梁的哈密顿体系求解框架。在哈密顿体系下,欧拉梁的波传播与自由振动问题转化为哈密顿矩阵的本征值问题,有助于深入理解欧拉梁系统的内在特性。本文主要研究工作如下: (1)梳理了梁理论的发展脉络并调研了梁力学问题的研究现状。哈密顿体系被广泛运用于应用力学问题领域,通过引入对偶变量,降低方程阶次,有效减小了方程的求解难度。此外,哈密顿矩阵的本征值具备明确的物理意义,有助于理解系统的本质属性。调研结果表明,当前关于欧拉梁在哈密顿体系中的研究较为匮乏。因此,本文将首先推导欧拉梁的哈密顿对偶方程,并以此为基础展开研究工作。 (2)简要概述了哈密顿辛对偶体系的基本概念和原理。哈密顿辛对偶体系以做功为研究对象,这是一个具有辛结构的相空间。在辛空间中,不同的线性空间可能具有不同的物理量纲,但是它们的乘积具备明确的物理意义。此外,辛空间内的任意向量都可以由一组共轭辛正交标准基线性组合得到。 (3)将哈密顿体系引入欧拉梁理论研究。基于哈密顿变分原理和拉格朗日乘子法,推导出了欧拉梁的哈密顿对偶方程。在此基础上,利用哈密顿矩阵的本征值特性,结合具体的边界条件,得到六种边界条件下的频率方程。通过与文献结果对比,验证了本文所得解析解的正确性。 (4)在哈密顿体系下研究了欧拉梁的波传播问题。利用哈密顿矩阵的数学性质及精细积分等方法,获得了欧拉梁仅包含通带部分的散射矩阵。通过数值算例分析,得到了欧拉梁的能带结构曲线,并证明了散射矩阵是酉矩阵,满足功率流守恒。 (5)将哈密顿体系由欧拉梁推广应用至Winkler地基梁。根据本征函数的特点所绘制的本征值谱清晰地展示了频率与波数的关系,从而建立了波传播与振动两个领域之间的联系。推导的频率方程与全模态向量完全由本征向量中的元素构成,有利于问题的定性分析。此外,全模态向量同时包含位移和应力,能够提供更为全面的模态结果。