投影梯度算法求解非线性反问题的αl1-βl2正则化

作     者：赵祝光 

作者单位：东北林业大学 

学位级别：硕士

导师姓名：丁亮

授予年度：2023年

学科分类：12[管理学] 1201[管理学-管理科学与工程(可授管理学、工学学位)] 07[理学] 070105[理学-运筹学与控制论] 0701[理学-数学] 

主      题：非线性不适定问题 投影梯度方法 广义条件梯度算法 替代函数方法 αl1-βl2稀疏正则化 

摘      要：近几年来,非凸α‖·‖(?)1-β‖·‖(?)2(α≥β≥0)正则化的研究引起了稀疏恢复领域的关注。作为0 ≤p1时lp-范数的替代,泛函α‖·‖(?)1-β‖·‖(?)2(α≥β≥0)的优点在于它是l0-范数的较好近似,从计算角度来看,它比l0-范数结构更简单。本文研究非线性不适定算子方程A(x)=y的αl1-βl2稀疏正则化的求解问题。通常获得α‖·‖(?)1-β‖·‖(?)2(α≥β≥0)正则化最小值的方法是ST-(αl1-βl2)算法。然而,该算法与经典的迭代软阈值算法类似,收敛得非常慢。ST-(αl1-βl2)算法的一个巧妙替代是投影梯度(PG)算法,然而PG方法目前仅限于线性反问题。在本文中,我们将基于广义条件梯度算法及基于替代函数的PG方法推广到具有α‖·‖(?)1-β‖·‖(?)2(α≥β≥0)正则化的非线性反问题。首先基于广义条件梯度方法,将原非凸稀疏正则化泛函转化为型如G(x)+Φ(x)的结构,利用投影梯度算法对ST-(αl1-βl2)算法进行加速。此外,通过Morozov偏差原则确定l1-球约束半径R。然后,本文在有限维空间Rn研究第二种加速算法,即基于替代函数的PG算法,证明所提算法的收敛性和稳定性。最后,本文以非线性压缩感知问题为数值实验,验证所提方法的有效性。