检索结果-南通市图书馆

非线性不适定问题在天体物理学,天文学,医学成像,地球物理,参数识别,与逆散射中都有很重要的应用。而迭代法在解不适定问题中又占据着主导地位,因而我们主要讨论分析解非线性不适定问题的迭代法及其收敛性和收敛阶。本文主要内容分为两大章。第一章考察了解非线性不适定问题的修正Landweber迭代。对含一个参数的修正Landweber迭代,本文引进了一般的停止条件并由此给出了推广的收敛性条件。在此条件下对光滑数据也给出了最优收敛性。同时通过增加一些必需条件也得到了更好的收敛阶。本文的第二章给出了带两参数的新的迭代法。新迭代是在高阶的King-Werner迭代的基础上引入两个不同的松弛参数,此即为两步迭代方法。对新方法应用第一章中的一般收敛性条件,我们证明了相应的收敛性和收敛阶。在迭代中通过指定松弛参数我们给出了几个特例。这些迭代方法优于现有文献中的其它迭代。

关键词：非线性不适定问题 Landweber迭代收敛性偏差原理 King-Werner迭代

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一类具有单调算子的非线性不适定问题的迭代Tikhonov正则化方法

一类具有单调算子的非线性不适定问题的迭代Tikhonov正则化方法

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作者：钱坤明山东大学

学位级别：硕士

在众多的工程技术领域,例如遥测和勘探中,提出了大量的反问题.而这些反问题通常是不适定的.本文中介绍了不适定问题和正则化方法,并重点讨论了实Hilbert空间H上一类具有单调算子的非线性不适定问题F（x）=y（1）的迭代Tikhonov正则化方... 详细信息

在众多的工程技术领域,例如遥测和勘探中,提出了大量的反问题.而这些反问题通常是不适定的.本文中介绍了不适定问题和正则化方法,并重点讨论了实Hilbert空间H上一类具有单调算子的非线性不适定问题F（x）=y（1）的迭代Tikhonov正则化方法.其中F是连续单调算子,即F满足（F（x）-F（y）,x-y）≥0, （?）x,y,∈H.（2）在适当的假设条件下,应用以α为正则化参数的迭代Tikhonov方法和以m为正则化参数的迭代Tikhonov方法求解方程（1）,并得到如下结论：定理1.令r=（?）.对任意固定的迭代次数m≥1,如果正则化参数α=α（δ,h）满足limα=0,limδ/α=0,limh/α=0, 那么lim‖xα,δ,hm-x*‖=0. 定理2.令r=（?）.对任意固定的迭代次数m≥1,令常数C1＞0,C2＞0.η∈(0,1],ζ∈(0,1]满足C1δn+C2hζ＞δ+h‖x*‖.假设‖Fh（0）-yδ‖＞C1δη+C2hζ,那么存在α*：=α*（δ,h）＞0满足‖Fh（xα*,δ,hm）-yδ‖=C1δη+C2hζ.若0＜η＜1,0＜ζ＜1,则lim‖xα*,δ,hm-x‖=0. 定理3.令r=（?）.如果正则化参数m:=m（δ,h）满足Iim m=∞,lim mδ=0,lim mh=0,那么lim‖xmδ,h-x‖=0. 在研究非线性不适定问题常用的正则化方法中,我们都需要知道算子F的Frechet导数.因此当F不存在Frechet导数时,这些方法就不能使用了.本文中我们通过改进的迭代Tikhonov正则化方法（3）和（4）解决了这一问题并得到了稳定的近似解.与一般Tikhonov正则化方法作比较,迭代Tikhonov正则化方法（3）可以得到收敛性更好的近似解.同时,迭代Tikhonov正则化方法（4）只需要很少的迭代步数就能达到很好的收敛性,而没有必要去提高迭代步数. 本文大致结构如下,在第一章中我们介绍了不适定问题,解决不适定问题的正则化方法和其中的迭代Tikhonov正则法;第二章给出了求解非线性单调算子方程的以a为参数的迭代Tikhonov正则法的收敛性分析;第三章给出了求解非线性单调算子方程的以m为参数的迭代Tikhonov正则法的收敛性分析;第四章给出了一个数值算例,用来验证结论的可行性.

关键词：非线性不适定问题单调算子迭代Tikhonov正则化收敛性

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Landweber迭代方法解决非线性不适定问题的收敛性分析

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作者：李艳山东大学

学位级别：硕士

应用Landweber正则化方法解决线性不适定问题时,Landweber,Friedman,Bialy将方程改写成下列形式其迭代格式为：该迭代法实际上是求解二次泛函‖Fx-y‖2极小值的以步长为a的最速下降法。对于迭代解xm,δ到精确解x的收敛性与收敛速度,有... 详细信息

应用Landweber正则化方法解决线性不适定问题时,Landweber,Friedman,Bialy将方程改写成下列形式其迭代格式为：该迭代法实际上是求解二次泛函‖Fx-y‖2极小值的以步长为a的最速下降法。对于迭代解xm,δ到精确解x的收敛性与收敛速度,有如下结论： (1)令且‖z‖≤E,选取则有 (2)令且‖z‖≤E,选取则有 (3)在用Landweber正则化方法解决线性问题时,如果对x有更强的限制,迭代序列{xm,δ}最快以O(δ2r／2r+1)的速度收敛到精确解。将上述方法推广到非线性不适定问题时,由于非线性问题的不适定性,方程的解往往不连续依赖于右端数据y,或者对于微小的扰动数据yδ,方程的近似解与精确解之间会相差甚远,因此得到的解会毫无意义。目前对于Landweber正则化在非线性不适定问题中的研究,都是通过对初始条件加以限定或者在特殊的Hilbert空间中讨论其收敛性与收敛速度。本文总结了前人所做的研究,比较Landweber正则化在线性问题与非线性问题中的应用,并在此基础上,用一种带参数的Landweber迭代方法解决该问题。在本文中,我们都做如下假设： (1)F′(·)局部一致有界;下面我们写出改进的针对非线性问题的Landweber迭代形式：其中,a是参数,这是与[13]中不同的地方。如上假设,足以保证至少在β(?)/2(x0)内迭代局部收敛到方程F(x)=y的解。在假设条件下,得到了如下Landweber正则化的收敛性结论：定理：令x*是非线性不适定问题F(x)=y的一个解,扰动数据yδ满足‖yδ-y‖≤δ,k*由停止规则得到,即扰动迭代在k*(δ)步后停止,则在假设条件下,应用解决该问题,则迭代解且由此,我们证明了用改进的方法用来解决非线性不适定问题是可行的,在扰动数据误差界δ下,同样得到收敛阶为O(δ1/2),但限制条件相对较弱(η不适定问题和Landweber正则法,第二章给出了非线性不适定问题的Landweber正则法的收敛性与收敛速度的分析,第三章证明了第二章中的结论,第四章我们给出了非线性不适定问题的Landweber正则化在数值计算中的应用,来验证结论的可行性。

关键词：非线性不适定问题 Landweber正则化收敛性

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求解非线性不适定问题的两种方法

求解非线性不适定问题的两种方法

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作者：王美吉哈尔滨理工大学

学位级别：硕士

随着科学技术的不断发展，在其他学科和众多工程技术领域应用需要的驱动下，反问题的研究已经逐渐发展成为横跨计算数学、应用数学和系统科学的一个热门学科.数学中的众多领域几乎都可以提出某种形式的反问题.反问题的研究程度与工业和... 详细信息

随着科学技术的不断发展，在其他学科和众多工程技术领域应用需要的驱动下，反问题的研究已经逐渐发展成为横跨计算数学、应用数学和系统科学的一个热门学科.数学中的众多领域几乎都可以提出某种形式的反问题.反问题的研究程度与工业和国防的现代化以及科学技术在医学和物理学中的应用有着密切的关系.由于反问题大多数都是不适定的，因此，研究不适定问题的有效求解及应用，对数学学科本身以及相应的应用科学都有非常重要的意义，很多时候还是问题的关键所在，研究非线性不适定问题的求解是必要的且有价值的.本文共分为四个部分，首先，介绍非线性不适定问题研究的目的和意义，且对国内外研究现状进行分析.其次，对非线性不适定问题进行分析，总结了几种经典的非线性不适定问题的求解方法.再次，针对Landweber迭代方法在非线性不适定问题上进行研究，在非线性算子和右端数据皆为近似的前提条件下，基于Frozen Landweber迭代法，提出双扰动的双循环Landweber迭代格式.在所给的条件下，通过对该迭代格式的单调性和收敛性进行分析和证明，得出该迭代格式是有效的.最后，针对Tikhonov正则化方法在非线性不适定问题中的应用，通过对修正的三阶牛顿法进行Tikhonov正则化，得到新的迭代格式.通过选取合适的正则化参数，在适当的条件下应用广义偏差准则，对给出的迭代格式进行单调性和收敛性分析及证明，得出该迭代格式是有效的.

关键词：非线性不适定问题迭代方法正则化方法收敛性

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