二元样条有限元方法求解线性双曲型方程

作     者：张梦迪 

作者单位：大连海事大学 

学位级别：硕士

导师姓名：曲凯

授予年度：2019年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：二元样条 有限元方法 线性双曲型方程 微分方程数值解 

摘      要：双曲方程反应了自然界中的波动现象,这类问题的研究对于许多实际问题,如弦振动、弹性薄膜或三维弹性体的震动,并且在描述电场、磁场和电荷密度、电流密度之间的关系中均有重要的意义。样条是一种特殊的函数,由多项式分段定义。在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图形学中,样条通常是指分段定义的多项式参数曲线。由于样条构造简单,使用方便,拟合准确,并能通过近似曲线拟合和交互式曲线设计来逼近复杂的形状,样条是这些领域中曲线的常用表示方法。本文将二元样条理论与经典的有限元方法相结合,提出了一种求解二维空间中的线性双曲型方程的数值方法。该方法建立在2-型三角剖分上,并通过构造B样条插值边界函数来满足齐次边界条件。同时,该样条方法利用二元样条基函数构造了解空间和测试空间,从而有效的求解了二维线性双曲方程。与传统的有限元方法相比,该方法的精度较高,更重要的是,该方法不需要对空间变量进行剖分。然后通过两个例子来证实理论结论的正确性,并且发现近似解与已知的精确解非常一致。这意味着样条方法对于求解二维线性双曲型方程是有效可行的。本文的结构如下:第1章是绪论,简单介绍了双曲方程的背景意义和研究现状。第2章中讨论了二元样条空间,主要是介绍了 2-型三角剖分上的样条函数空间,因其具有结构简单、对称性好等优点,因此在实际中有广泛应用。第3章讨论了二维线性双曲型方程的数值解法,首先介绍了经典的有限元方法,该方法在时间方向上采用伽略金方法进行离散,在空间中构造了测试空间和解空间。第4章给出了两个数值例子来验证该方法的可行性。