混合单调算子不动点理论与几类微分方程的解的研究

作     者：王甜 

作者单位：曲阜师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：郝兆才

授予年度：2018年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：不动点 算子 分数阶微分方程 正解 存在性 唯一性 

摘      要：本文主要讨论如下三方面问题,带有扰动的混合单调e-凹-凸算子或单调e-凹算子不动点的存在性与唯一性,一类奇异非线性分数阶微分方程正解的存在性与唯一性,以及一类高阶脉冲分数阶微分方程的正解的存在性问题.本文共分为四章.第1章叙述了非线性算子理论与分数阶微分方程理论的重要性,基于这个原因,对算子不动点和分数阶微分方程的研究是有意义的.第2章我们利用单调迭代方法和锥的性质考虑下面两个算子方程的解的存在性与唯一性:A(x,x)+ B(x,x)= = x,(2.1.1)Ax + Bx = x.(2.1.2)在(2.1.1)中,A:Ce ×Ce→ Ce是一个混合单调e-凹-凸算子,B是一个次齐次的混合单调算子.在(2.1.2)中,A:Ce→Ce 是一个e-凹增算子,B是一个增的次齐次算子.本章考虑了带有扰动项的算子方程的解的存在唯一性.相较于Zhao和Du 2007年发表在 Journal of Mathematical Analysis and Applications 上的文章,Zhao 2010 年发表在Nonlinear Analysis上的文章,我们的算子方程形式更为一般化,当B= θ时,(2.1.1)与(2.1.2)分别退化为Zhao与Zhao和Du文中的算子方程.在本章假设下,同样可以得到算子方程x=A(x,x)与x=Ax的解的存在唯一性.同Wu 2008年发表在Journal of Mathematical Analysis and Applications 上的文章中的一个主要结论相比,我们不再进行tα(t,x,y)t[1+η(x,y,t)]的转化,即我们不再需要00.另外,本章还得到了混合单调e-凹-凸算子的非线性特征方程λx = A(x,x)的解的存在唯一性,并讨论了它对参数的依赖性.同时也讨论了非线性特征方程Ax = Ax.本章中我们不再需要算子的紧性与连续性条件.第3章中,我们主要利用混合单调算子不动点定理考虑下列奇异非线性分数阶微分方程正解的存在性与唯一性问题:其中 n-13,1≤β≤γ≤n-2 p,q ∈C((0,1),[0,∞)),p(t)和q(t)在t = 0 或 t = 1 处允许奇异,f:(0,1)×(0,∞)×(0,∞)→[0,∞)连续并且 f(t,u,v)在t = 0,1 和u=v=0 处可能奇异,g:(0,1)×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)连续并且g(t,u,u)在t = 0,1处可能奇异,k:[0,1)→[0,∞)是连续函数.本章问题(3.1.1)的形式较为一般化.我们在本章讨论了奇异性,我们允许p,q在t = 0,1处奇异,f在t = 0,1与x= y = 0处可能奇异,即f(t,x,y)关于时间与空间都可能是奇异的,g在t = 0处可能奇异,即g(t,x,y)关于时间变量可能奇异.我们的非线性项中不仅含有导数项,而且含有算子,这个算子可以是线性的也可以是非线性的.特别地,当p(t)= t)=1,= 0 时,Zhang 和 Tian 2017 年发表在 Advances in Difference Equations上的文章中的问题是(3.1.1)的一个特殊情形.当k(u)= 0,β= 0,p(t)=q(t)=1,且Hu(t)=u(t)时,我们所研究的问题(3.1.1)退化为Jleli和Samet 2015年发表在 Nonlinear Analysis:Modelling and Control 上的文章中的问题.第4章中,主要运用Schauder不动点定理与Altman不动点定理在无穷区间上考虑下列高阶脉冲分数阶微分方程的正解的存在性问题:其中u0∈ R,α,β∈(n-1,n],n2,D0+α 是标准的黎曼-刘维尔分数阶导数,0 =t0t1t2…tm∞,Δu(tk+)-u(tk-)=u(tk),并且u(tk+)=lim u(tk+h)与u(tk-)=lim u(tk-h)分别表示u(t)在t =tk处的右极限与左极限,D0+α-1u(∞)=lim u(t).f∈C([0+∞)× R× R× R,R),Ik ∈C(R,R).本章问题中的非线性项不仅包含分数阶导数,而且含有分数阶积分.相较于Liu 2016年发表在 Applied Mathematics and Computation 上的文章,Liu 和 Ahmad 2014 年发表在 The Scientific World Journal 上的文章,与 Zhao 和 Ge 2011 年发表在 Applications of Mathematics上的文章,我们的非线性项更加一般化.很多文章的非线性项都含有导数项,但很少同时含有导数项与积分项.我们在本章研究的是无穷区间上的问题.就我们所知,研究无穷区间上的脉冲分数阶微分方程问题的文章较少.与有限区间上的问题相比较,无限区间上的锥的构造与有限区间不同.另外,我们研究的是高阶脉冲分数阶微分方程.