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数学物理学报（A辑） 2021年第1期41卷 63-68页

作者：梁载涛单雪梦安徽理工大学数学与大数据学院安徽淮南232001

该文主要研究了k-hessian方程的Dirichlet问题.利用Leggett-Williams不动点定理,得到了一些关于非平凡径向解的存在性与多解性结论.

关键词：径向解 Dirichlet问题 k-hessian方程 Leggett-Williams不动点定理

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k-hessian方程的多解性

k-Hessian方程的多解性

作者：王伟哈尔滨师范大学

学位级别：硕士

k-hessian方程是一类完全非线性偏微分方程,其本身的研究成果在微分几何以及应用科学的发展等方面起着关键的作用,对于k-hessian方程多解性的探究也具有十分重要的研究意义.我们首先介绍了k-hessian方程多解性的研究背景及研究现状;其... 详细信息

k-hessian方程是一类完全非线性偏微分方程,其本身的研究成果在微分几何以及应用科学的发展等方面起着关键的作用,对于k-hessian方程多解性的探究也具有十分重要的研究意义.我们首先介绍了k-hessian方程多解性的研究背景及研究现状;其次介绍了研究过程中涉及的基本概念和引理;最后证得k-hessian方程的k-允许解的存在性和多解性以及具有临界项的超线性方程径向解的多重性.

关键词： k-hessian方程多解性 k-允许解径向解

k-hessian方程的Dirichlet问题

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k-Hessian方程的Dirichlet问题

作者：矫贺明哈尔滨工业大学

学位级别：硕士

在微分几何,复分析和应用科学中出现了一类完全非线性偏微分方程,即Monge-Ampere方程。本文所要讨论的k-hessian方程就是Monge-Ampere方程的一个推广。另外,k-hessian方程本身对于微分几何,及许多应用科学也有重大的意义,因此,对k-Hess... 详细信息

在微分几何,复分析和应用科学中出现了一类完全非线性偏微分方程,即Monge-Ampere方程。本文所要讨论的k-hessian方程就是Monge-Ampere方程的一个推广。另外,k-hessian方程本身对于微分几何,及许多应用科学也有重大的意义,因此,对k-hessian方程的研究是很有价值的。当k≥2时,k-hessian方程是一类复杂的完全非线性方程,对它的研究又是很有挑战的,需要深入了解几何,代数,分析,偏微分方程等各个领域的知识。本文主要介绍关于k-hessian方程的Dirichlet问题的研究方法及成果。在本文的第一章介绍了k-hessian方程的背景和定义以及一些偏微分方程的基本概念。在第二章,介绍了k-容许函数的概念,并且说明在k-容许函数下,k-hessian方程的椭圆性和k-hessian算子的凹性。接下来在第三章,叙述了一个著名的关于k-hessian方程的Dirichlet问题的古典解的存在性和正则性的证明。在第四章中,介绍了k-hessian测度和k-hessian方程弱解的定义,并且叙述了一个关于弱解的存在性的证明,介绍了非光滑k-容许函数的正则性的研究进展。最后,在第五章中介绍了k-hessian容量的概念和弱解的唯一性问题的研究进展,并对其做了进一步的研究。关于k-hessian方程,留给人们的问题还有很多,比如弱解的正则性和唯一性的问题,以及在减弱一定条件后的古典解的存在性和正则性问题等等。

关键词： k-hessian方程 Dirichlet问题 k-容许函数 k-hessian测度 k-hessian容量

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k-hessian方程解的存在性研究

k-Hessian方程解的存在性研究

作者：柏爽爽华北电力大学(北京)

学位级别：硕士

本文主要研究了 k-hessian方程及系统解的存在性及边界估计问题,其中包括在k=n时的特殊情形,即Monge-Ampère方程及系统解的存在性及边界估计问题。全文共分为六章,具体如下:在第1章中,主要阐述了本文所研究课题的背景与意义,同时介绍... 详细信息

本文主要研究了 k-hessian方程及系统解的存在性及边界估计问题,其中包括在k=n时的特殊情形,即Monge-Ampère方程及系统解的存在性及边界估计问题。全文共分为六章,具体如下:在第1章中,主要阐述了本文所研究课题的背景与意义,同时介绍了国内外的研究现状,并简述了本文主要的研究内容,最后给出了后文的证明中所要用到的基本概念和定理。在第2章中,主要研究具有梯度项的Monge-Ampère方程问题。通过kamarata正规变化理论,并利用上下解方法得到了该问题严格凸解的存在性以及边界估计。在第3章中,主要研究Monge-Ampère型方程及系统问题。利用单调迭代法得到了该问题全局正径向凸解的存在性。在第4章中,主要研究增广k-hessian型方程及系统问题。利用单调迭代法得到了该问题全局正径向k-凸解的存在性。在第5章中,主要研究含有拉普拉斯算子的Monge-Ampère型方程问题。利用分析法研究了该问题全局正下解的存在性。在第6章中,对本文结论做了总结和展望。

关键词： k-hessian方程 Monge-Ampère方程 kamarata正规变化理论上下解方法存在性

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k-hessian方程径向解的唯一性

k-Hessian方程径向解的唯一性

作者：胡馨元哈尔滨师范大学

学位级别：硕士

椭圆偏微分方程是一类重要的偏微分方程,解的存在性和唯一性问题始终是偏微分方程研究中的一个经典主题.k-hessian方程作为一类重要的非线性偏微分方程,对微分几何、复分析及许多应用科学都有着重大的意义.进而对其解的唯一性的研究也... 详细信息

椭圆偏微分方程是一类重要的偏微分方程,解的存在性和唯一性问题始终是偏微分方程研究中的一个经典主题.k-hessian方程作为一类重要的非线性偏微分方程,对微分几何、复分析及许多应用科学都有着重大的意义.进而对其解的唯一性的研究也尤为重要.本文研究一类带有Dirichlet条件的k-hessian方程径向解的唯一性问题,主要是应用Pohozaev等式和单调分离技术来得到径向解的唯一性.

关键词： k-hessian方程径向解唯一性

k-hessian方程torsional rigidity变分公式的研究

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k-Hessian方程torsional rigidity变分公式的研究

作者：何慧娜湖南大学

学位级别：硕士

在凸几何与几何分析中,torsional rigidity泛函的Minkowski问题是一类重要的研究课题.泛函的变分公式是解决Minkowski问题的重要前提和关键步骤,并且在一些经典的几何问题中有着广泛的应用.k-hessian方程是一类重要的完全非线性椭圆方程... 详细信息

在凸几何与几何分析中,torsional rigidity泛函的Minkowski问题是一类重要的研究课题.泛函的变分公式是解决Minkowski问题的重要前提和关键步骤,并且在一些经典的几何问题中有着广泛的应用.k-hessian方程是一类重要的完全非线性椭圆方程,它出现在预定Weingarter曲率测度的Alexandrov问题,Minkowski问题,最优运输问题以及Special Lagrangian几何等一系列重要数学问题中,以及在形式上仅依赖于解的hessian矩阵的特征值.k-hessian是指hessian矩阵特征值的k阶初等对称多项式.当k 2时,k-hessian方程是完全非线性偏微分方程.本文主要运用k-hessian算子的性质以及形式的多样化,研究k-hessian方程torsional rigidity泛函的变分公式.主要研究成果和创新分为两个部分,具体如下:第一部分研究k-hessian方程对应的torsional rigidity泛函的基本性质.我们运用torsional rigidity泛函的定义,证明torsional rigidity泛函的极值函数与相应k-hessian方程的解之间的等价性.随后借助k-hessian算子的性质,推导torsional rigidity泛函取到极值函数时的表达式.第二部分研究k-hessian方程对应的torsional rigidity的变分公式.首先,我们利用k-hessian算子的性质,证明k-hessian方程的两个恒等式.继而在区域光滑情形下,建立k-hessian方程的torsional rigidity的一阶变分公式.进一步在特殊的区域单位球上,建立k-hessian方程的torsional rigidity的二阶变分公式.

关键词： Torsional rigidity k-hessian方程变分公式区域变分

一类k-hessian方程k-允许解的唯一性和收敛性

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浙江大学学报（理学版） 2023年第4期50卷 424-428页

作者：何兴玥丁欢欢西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070

首先,运用u0-次线性定理,证明了一类耦合k-hessian方程在超线性和次线性情形下,至多存在一个径向k-允许解;其次,用数值例子验证了径向k-允许解的唯一性;最后,运用单调迭代技巧,讨论了k-允许解的一致收敛性。

关键词： k-hessian方程径向k-允许解 u0-次线性定理单调迭代技巧

一类k-hessian方程爆破解的存在性和不存在性

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山东大学学报（理学版） 2022年第3期57卷 62-67,77页

作者：段对花高承华王晶晶西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070

运用单调迭代方法,在非线性项满足适当的增长条件下研究一类k-hessian方程爆破解的存在性和不存在性,并得到了一些有趣的结果。

关键词：单调迭代法 k-hessian方程爆破解存在性和不存在性

关于k-hessian方程C2＋α局部解的存在性

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数学物理学报（A辑） 2017年第3期37卷 499-509页

作者：巴娜田范基郑列湖北工业大学理学院武汉430068 湖北大学数学与统计学学院应用数学湖北省重点实验室武汉430062

该文克服椭圆型k-hessian算子的线性化算子不满足极大值原理的困难,利用NashMoser迭代,证明当非齐次项f∈C~α变号或非负时,k-hessian方程C^(2+α)局部解的存在性,当然当f为C~∞时,存在C~∞局部解.其技巧是首先证明线性化方程解的唯一性... 详细信息

该文克服椭圆型k-hessian算子的线性化算子不满足极大值原理的困难,利用NashMoser迭代,证明当非齐次项f∈C~α变号或非负时,k-hessian方程C^(2+α)局部解的存在性,当然当f为C~∞时,存在C~∞局部解.其技巧是首先证明线性化方程解的唯一性,以此为基础得到线性化方程解的存在性,进而得到线性化方程解的高阶正则性和先验估计.

关键词： k-hessian方程局部解 Nash-Moser迭代.

一类k-hessian方程解的存在性和渐近稳定性

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数学物理学报（A辑） 2021年第5期41卷 1357-1371页

作者：张丽红杨泽栋王国涛 Baleanu Dumitru 山西师范大学数学与计算机科学学院山西临汾041004 Nonlinear Analysis and Applied Mathematics(NAAM)Research Group Department of MathematicsFaculty of ScienceKing Abdulaziz UniversitySaudi Arabia Jeddah 21589 Department of Mathematics Faculty of Art and SciencesCankaya UniversityTurkeyAnkara Balgat 06530 Institute of Space Sciences Magurele-BucharestRomania

该文考虑了边界爆破k-hessian问题Sk(λ(D^(2)z))=b(x)f(z),x∈Ω,z|■Ω=+∞,其中,Ω■R^(N)是一个严格凸的光滑有界区域.文章通过单调迭代方法、上下解方法和karamata正则变化理论得到了k-hessian方程径向对称正解的存在性和严格凸的... 详细信息

该文考虑了边界爆破k-hessian问题Sk(λ(D^(2)z))=b(x)f(z),x∈Ω,z|■Ω=+∞,其中,Ω■R^(N)是一个严格凸的光滑有界区域.文章通过单调迭代方法、上下解方法和karamata正则变化理论得到了k-hessian方程径向对称正解的存在性和严格凸的爆破正解的边界渐近行为.

关键词：渐近稳定性 k-hessian方程径向正解 keller-Osserman条件 karamata正则变化理论