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On affine hypersurfaces with Parallel Cubic Form Relative to affineα-connection

Acta Mathematica Sinica,English Series 2024年第4期40卷 1099-1114页

作者： Ce Ce LI Cheng XING Hui Yang XU School of Mathematics and Statistics He’nan University of Science and TechnologyLuoyang 471023P.R.China School of Mathematical Sciences and LPMC Nankai UniversityTianjin 300071P.R.China

Similar to Nomizu-Pinkall's geometric characterization of the Cayley surface and Hu-Li-Zhang's characterization of the Cayley hypersurface,how can one characterize the generalized Cayley hypersurfaces?In this paper,by the affineα-connection of statistical manifolds,we study affine hypersurfaces with parallel cubic form relative to the affineα-connection.As the main results,we complete the classification of such hypersurfaces if its affine metric is either definite,or Lorentzian withα≠-1.Moreover,we give a new characterization of the generalized Cayley hypersurfaces to answer the question.

关键词： affine hypersurface parallel cubic form affineα-connection Einstein metric

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CONFORMALLY FLAT affine hypersurfaceS WITH SEMI-PARALLEL CUBIC FORM

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Acta Mathematica Scientia 2023年第6期43卷 2413-2429页

作者：徐辉阳李策策 School of Mathematics and Statistics Henan University of Science and TechnologyLuoyang 471023China

In this paper,we study locally strongly convex affine hypersurfaces with the vanishing Weyl curvature tensor and semi-parallel cubic form relative to the Levi-Civita connection of the affine metric.As a main result,we classify these hypersurfaces as not being of a flat affine metric.In particular,2 and 3-dimensional locally strongly convex affine hypersurfaces with semi-parallel cubic forms are completely determined.

关键词： affine hypersurface semi-parallel cubic form Levi-Civita connection conformally flat warped product

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On product affine hyperspheres in R^n+1

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Science China Mathematics 2020年第10期63卷 2055-2078页

作者： Xiuxiu Cheng Zejun Hu Marilena Moruz Luc Vrancken School of Mathematics and Statistics Zhengzhou UniversityZhengzhou 450001China Henan Key Laboratory of Financial Engineering Zhengzhou 450001China Department of Mathematics KU LeuvenLeuven 3001Belgium Institut des Sciences et Techniques de Valenciennes(ISTV) Universit´e Polytechnique Hauts de FranceValenciennes 59313France

In this paper,we study locally strongly convex affine hyperspheres in the unimodular affine space Rn+1 which,as Riemannian manifolds,are locally isometric to the Riemannian product of two Riemannian manifolds both possessing constant sectional curvature.As the main result,a complete classification of such affine hyperspheres is established.Moreover,as direct consequences,3-and 4-dimensional affine hyperspheres with parallel Ricci tensor are also classified.

关键词： affine hypersurface affine metric affine hypersphere Levi-Civita connection constant sectional curvature parallel Ricci tensor

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