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若干组合恒等式证明及广义的Bernoulli多项式、Euler多项式探析

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若干组合恒等式证明及广义的Bernoulli多项式、Euler多项式探析

作者：冯玉翠河南大学

学位级别：硕士

组合恒等式是组合数学的重要内容,本文主要讨论一些与Fibonacci数和Lucas数有关的组合恒等式以及二元Bernoulli多项式和多元Euler多项式的相关性质.第一章介绍了Fibonacci数和Lucas数的定义以及相关的组合知识.第二章第一部分主要利用Ja... 详细信息

组合恒等式是组合数学的重要内容,本文主要讨论一些与Fibonacci数和Lucas数有关的组合恒等式以及二元Bernoulli多项式和多元Euler多项式的相关性质.第一章介绍了Fibonacci数和Lucas数的定义以及相关的组合知识.第二章第一部分主要利用James Mc Laughlin的文章:《Combinatorialidentities deriving from the n-th power of the 2×2 matrix》以及Sergio Falc(?)n和(?)ngel Plaza的文章:《On k-Fibonacci sequences and polynomials andtheir derivatives》中的定理,得到了一些形如(?)(?)的组合恒等式.第二部分利用一些特殊矩阵的性质得到了一些组合恒等式.第三部分介绍了一些关于矩阵的恒等式.第三章着重介绍了利用生成函数理论得到的二元Bernoulli多项式的相关性质.第四章主要利用生成函数理论得到了一些广义Euler多项式的相关性质.

关键词： Fibonacci数 Lucas数 Bernoulli多项式 stirling数 Euler多项式组合恒等式

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由[at+b]_n引入的两类新数

四川大学学报（自然科学版） 1991年第2期28卷 240-241页

作者：曹正秀四川大学数学系

本文报道了从函数[at+b]n与[-（at+b）]n中得到的两类新数,并且讨论了它们的一些基本性质。1 第一类新数及性质定义1 [at+b]n=（at+b）（at+b-1）（at+b-2）……（at+b-n+1）=（?）sa、b（n,k）tk,式中n为正整数,a≠0,b均为复数,第一类... 详细信息

本文报道了从函数[at+b]n与[-（at+b）]n中得到的两类新数,并且讨论了它们的一些基本性质。1 第一类新数及性质定义1 [at+b]n=（at+b）（at+b-1）（at+b-2）……（at+b-n+1）=（?）sa、b（n,k）tk,式中n为正整数,a≠0,b均为复数,第一类新数定义为展式中tk的系数sa、b（n,k）.注意,当a=1,b=0时,S1.0（n,k）=s1（n,k）为第一类stirling数.

关键词：函数[at+b]∨n stirling数 Lah数

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发生函数方法在组合计数理论中的若干应用

发生函数方法在组合计数理论中的若干应用

作者：修风光大连理工大学

学位级别：硕士

组合计数理论是组合数学中一个最基本的研究方向,它主要研究满足一定条件的安排方式的数目及其计算问题,所用到的基本原理和方法大体有:容斥原理、反演原理、Polya计数定理以及发生函数方法等。本文借助其中的一种基本且应用广泛的方法... 详细信息

组合计数理论是组合数学中一个最基本的研究方向,它主要研究满足一定条件的安排方式的数目及其计算问题,所用到的基本原理和方法大体有:容斥原理、反演原理、Polya计数定理以及发生函数方法等。本文借助其中的一种基本且应用广泛的方法——发生函数方法,对在组合计数理论中具有举足轻重地位的两类组合数:Lucas数和stirling数进行了进一步地学习和研究。本文的主要工作可概括如下: 1.第一章主要介绍了本文的两个研究对象:Lucas数和stirling数。介绍了它们的起源、定义、基本性质以及研究状况。 2.第二章详细介绍了本文研究所用到的主要方法:发生函数方法。借助抽象代数的观点,将发生函数定义为形式幂级数,在引进形式幂级数的一种加法和乘法运算后,可使一切形式幂级数做成一个整环,为发生函数的四则运算建立了严谨的理论基础。最后通过举例,形象地展示了这一方法的具体应用。 3.第三章把发生函数方法的思想运用到对广义Lucas数的研究中,借助各种已知数列的发生函数,得到了若干包含广义Lucas数的平方及三次方的恒等式,并在最后借助所得到的恒等式给出了Lucas数的几个同余性质。 4.第四章从组合意义角度对两类普通stirling数进行了推广。结合推广后的两类stirling数的组合意义,首先给出了它们满足的基本递推关系。接着又给出了它们的各种形式的发生函数。进一步又得到了推广后的两类stirling数的若干基本性质,如“三角”递推关系,“垂直”递推关系,同余性质等。

关键词：发生函数 Lucas数同余 stirling数

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一类特殊离散分布矩的研究

一类特殊离散分布矩的研究

作者：孙传锐东北大学

学位级别：硕士

概率分布的矩在统计中有着重要的应用,广泛应用在随机抽样,生物学以及医学等领域。概率分布分为离散分布和连续分布,其中离散分布的矩应用更广泛。本文主要对离散分布的原点矩和逆矩进行了研究。首先使用组合数学的方法,对离散分布的原... 详细信息

概率分布的矩在统计中有着重要的应用,广泛应用在随机抽样,生物学以及医学等领域。概率分布分为离散分布和连续分布,其中离散分布的矩应用更广泛。本文主要对离散分布的原点矩和逆矩进行了研究。首先使用组合数学的方法,对离散分布的原点矩进行了讨论,应用第二类stirling数展开一些常见的离散分布的逆矩,并且给出这类特殊离散分布一般情况结果。其次讨论了离散分布的逆矩,主要包括了二项分布的逆矩的递推公式和近似表达式以及泊松分布的逆矩的逼近。

关键词：逆矩 stirling数原点矩发生函数

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错排指数族及对称群的循环指标的一些性质

错排指数族及对称群的循环指标的一些性质

作者：王冰岩中国海洋大学

学位级别：硕士

本文主要研究两方面的内容：错排指数族的一些性质以及对称群的循环指标的一些性质.首先,牌、副、手、指数族、指数公式是由***最早提出的,主要处理由连通块构成的结构的计数问题.错排是没有不动点的置换,n个元素的错排数记为Dn.目前,... 详细信息

本文主要研究两方面的内容：错排指数族的一些性质以及对称群的循环指标的一些性质.首先,牌、副、手、指数族、指数公式是由***最早提出的,主要处理由连通块构成的结构的计数问题.错排是没有不动点的置换,n个元素的错排数记为Dn.目前,研究错排数的方法主要有枚举法和递推法,不同于以往这些研究错排数的方法,本文通过指数族来研究错排数,针对错排数设计出一个新的指数族并得到一些性质.其次,对称群的循环指标的研究已经非常广泛,设α＝{α1,α2,α3,…}是一个给定的非负整数数列,要求α1+2α2+3α3+…＝n考虑n个字母的置换有多少种恰好有a1个长为1循环,a2个长为2循环,a3个长为3循环,等等.对于给定的置换σ,称矢量a=a(σ)表示的是σ的循环类型.从而可以得到σ具有的每种长度的循环个数.设c(a)表示上面所要求的置换数,ψn(x)表示对称群的循环指标.本文通过研究Bell多项式与对称群的循环指标间的关系,得到有关c(a)以及ψ(x)的一些性质.本文的主要工作有：1.概述指数族以及对称群的循环指标的研究现状,介绍指数公式、Bell多项式、对称群的循环指标以及二项式型多项式序列的定义及相关结论;2.利用指数族的概念,给出错排指数族中牌、副、手的关系及其表达式;3.研究错排指数族的性质,给出它与两类stirling数之间的关系,得到了有关错排数的新恒等式;4.得到对称群的循环指标与指数型Bell多项式及完全Bell多项式之间的关系,并根据Ramanujan提出的公式以及除数函数的一些性质,得到对称群的循环指标与不等于5且与5互素的素数p间的关系式;5.研究对称群的循环指标在第一类stirling数、在二项式型多项式序列以及卷积多项式序列中的应用.

关键词：错排数指数族对称群的循环指标 Bell多项式 stirling数

自然数幂和三种典型公式的等价证明及算法分析

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自然数幂和三种典型公式的等价证明及算法分析

作者：尹志凌内蒙古师范大学

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Bernoulli数、stirling数、Euler数在组合数学、函数论、理论物理及近似计算等方面均有广泛的应用。在数字图像中,可以利用欧拉数来描述物体结构,保持图像特征不变;在离散数学中,这些特殊数具有组合含义;在气象学、组合优化、随机图、Ra... 详细信息

Bernoulli数、stirling数、Euler数在组合数学、函数论、理论物理及近似计算等方面均有广泛的应用。在数字图像中,可以利用欧拉数来描述物体结构,保持图像特征不变;在离散数学中,这些特殊数具有组合含义;在气象学、组合优化、随机图、Ramsey理论等方面的也可用这些特殊数来计数。著名计算机科学家、美国斯坦福大学教授克努特(Donald ***)在他的名著The Art of Computer Programming(1998,《计算机程序设计艺术》)中专门设计了计算Euler数及Bernoulli数的程序。而幂和的发展经历了两千多年,一直是人们研究的热点。自然数幂和可以分别用Euler数、Bernoulli数、stirling数相关的表达式表示,使幂和的计算趋于简便快捷。但这三种表达式的互推多年来无人研究,同时这三种表达式的算法的复杂性也无人分析。我国著名数学家徐利治先生在给内蒙古师范大学教授罗见今先生的信中,曾经建议把这个研究作为硕士研究生的论文题目来开展工作,可见这方面的研究的确有重要意义。本文就此问题进行深入研究,给出了这三种表达式的互推,分析了这三种表达式算法的复杂度,得出了它们具有相同的Θ( k2)的复杂度的结论,力求使此方向的研究向前推进一步,以填补此研究领域的空白,并使之具有实践操作性。本文讨论了幂和的起源与发展,给出了幂和在两千年间取得的主要成果,在这一工作的基础上介绍了两种stirling数、Euler数及Bernoulli数的发展,对其主要成果给出了说明。通过证明stirling数、Euler数及Bernoulli数的关于幂和的表达式,最终设计出一整套的算法,给出了关于幂和分别用stirling数、Euler数及Bernoulli数这几种特殊计数表示的结果。最后对算法进行复杂性的讨论,给出了幂和在这三种表达式的计算量上是等价的结论。

关键词： Bernoulli数 stirling数 Euler数算法复杂性

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递归序列与组合恒等式

递归序列与组合恒等式

作者：张慧婷兰州理工大学

学位级别：硕士

组合学是现代数学领域中发展较为活跃的分支之一,而组合计数则是组合学的基础.组合计数中有许多典型问题,它们的解决都用到递归关系,而Bell多项式序列则是递归关系的基础.在这篇论文中,首先我们讨论了普通型Bell多项式中的递归关系,给... 详细信息

组合学是现代数学领域中发展较为活跃的分支之一,而组合计数则是组合学的基础.组合计数中有许多典型问题,它们的解决都用到递归关系,而Bell多项式序列则是递归关系的基础.在这篇论文中,首先我们讨论了普通型Bell多项式中的递归关系,给出了普通型Bell多项式的矩阵分解,求出了Bell多项式矩阵与Fibonacci矩阵之间的关系,并由其矩阵关系得到了普通型Bell多项式与Fibonacci数、二项式系数之间的组合恒等式.其次,在前人已研究的序列基础上提出一种新的组合序列-Jacobsthal序列,介绍它的起源、定义,研究其基本性质、组合意义、矩阵关系(如Jacobsthal矩阵与Pascal矩阵、Bell多项式矩阵、stirling矩阵间的联系),得到了二项式系数、Bell多项式以及两类stirling数与Jacobsthal数之间的组合恒等式.继而运用二项式定理得到了二项式系数与Jacobsthal数之间的一些组合恒等式.最后,利用Ω型的Bell多项式的迭代矩阵,将Jacobsthal数有关的恒等式推广到更一般的情况.

关键词：二项式系数 Fibonacci数 stirling数 Jacobsthal序列 Pascal矩阵 Bell多项式矩阵 Jacobsthal矩阵