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两类半线性椭圆方程解的存在性与多重性

两类半线性椭圆方程解的存在性与多重性

作者：刘磊西南大学

学位级别：硕士

本文首先讨论了带临界指数的半线性椭圆方程多重正解的存在性,其中Ω（?）RN（N≥3）是具有光滑边界的有界开区域,λ是一个正实参数,2*=2N/N-2是临界指数. 首先,我们对函数f和g做如下的假设：（f）f在Ω上是连续函数,f≥0且f... 详细信息

本文首先讨论了带临界指数的半线性椭圆方程多重正解的存在性,其中Ω（?）RN（N≥3）是具有光滑边界的有界开区域,λ是一个正实参数,2*=2N/N-2是临界指数. 首先,我们对函数f和g做如下的假设：（f）f在Ω上是连续函数,f≥0且f≠0;（g1）9在Ω上是连续函数,g＞0：（g2）在Ω上存在k个点a1,a2,…,ak满足且对某ρ＞N,当x→a,使得：g（a）-g（x）=O（?x-α|p）且关于a∈K一致成立. 我们主要利用了变分法,分析技巧和Nehari流形技巧,得到如下结果. 定理1.假设λ∈（0,Λ）,函数f在Ω上是连续的,f≥0且f≠0,g在Ω上是连续的,且g＞0,则方程（P1）至少有一个正解. 如果3≤N≤6,我们可以得到比定理1更好的结果.我们有如下的结果. 定理2.假设3≤N≤6,函数.f和g满足（f）-（92）条件,则存在一个Λ*＞0,使得对于任意的λ∈（0,Λ*）,方程（P1）至少有k+1个正解. 接下来,我们研究了一类带临界指数的半线性椭圆方程多重变号解的存在性,其中Ω（?）RN是具有光滑边界的有界开区域,λ是一个正实参数,N＞6,N/N-2＜q＜2,2*=2N/N-2是临界指数. 定理3.设f和g满足（f）-（g2）条件,N/N-2＜q＜2和N＞6,则存在一个正数A*∈（0,Λ）,使得对所有的λ∈（0.Λ*）,方程（P2）至少有k个变号解.

关键词：变分法临界点山路定理变号解 Nehari流形 Ekeland变分原理

一类Kirchhoff-Poisson方程解的存在性

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中央民族大学学报（自然科学版） 2015年第3期24卷 21-27页

作者：贺小明焦海涛中央民族大学理学院北京100081

本文应用Nehari流形方法研究一类Kirchhoff-Poisson方程解的存在性.在更一般的超四次增长性条件下,我们证明了基态解的存在性.如果非线性项是奇函数时,可以得到该问题无穷多个非平凡的解.在本文的假设条件下,Nehari流形可以不必是C1的.

关键词： Kirchhoff-Poisson方程解基态解 Nehari流形变分法

一类Kirchhoff-Poisson方程变号解的存在性

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中央民族大学学报（自然科学版） 2015年第2期24卷 82-87页

作者：巴振贺小明中央民族大学理学院北京100081

本文应用Nehari流形及变分方法研究了一类有界区域上Kirchhoff-Poisson方程,得到了该方程变号解的存在性.发现并纠正了巴西学者M.Giovany和R.G.Nascimento在文献[8]中的错误.

关键词： Kirchhoff-Poisson方程变号解 Nehari流形变分方法.

一类非自治Schrdinger-Maxwell系统的解

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广西师范学院学报（自然科学版） 2018年第3期35卷 13-19,26页

作者：陈翠玲黄文念广西师范大学数学与统计学院广西桂林541004

该文研究下面非线性Schr9dinger-Maxwell系统基态解的存在性:{-△u+V(x)u+K(x)Φf(u)=g(x,u),在R^3中-△Φ=2 K(x)F(u),在R3中,其中V:R^3→R,K:R^3→R.在对V,K,f和g作适当的假设下,利用山路定理证明了以上Schrdinger-Maxwell方程的基... 详细信息

关键词： Schrodinger-Maxwell方程山路定理 Nehari流形基态解

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全空间中椭圆方程组解的存在性

贵州师范大学学报（自然科学版） 2016年第1期34卷 40-44页

作者：郝悦斌李鸿翔山西大学数学科学学院山西太原030006

研究了下面椭圆方程组解的存在性问题{-Δu+qu=2α/α+β|u|^(α-2)u|v|~β,x∈R^N,-Δv+qv=2β/α+β|u|~α|v|^(β-2)v,x∈R^N,u,v∈H^1(R^N)。通过Nehari流形法证明了以上方程组具有非平凡解。

关键词：椭圆方程组能量泛函 Nehari流形

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非线性薛定谔-基尔霍夫型系统的基态解

南华大学学报（自然科学版） 2019年第5期33卷 68-71页

作者：袁瑞银刘艳琪南华大学数理学院

研究如下薛定谔-基尔霍夫型系统,{-(a+b∫R^3|?u1|^2dx)Δu1+λ1u 1=μ1|u1|^ 2q-2 u1+b12|u2|^q|u1|^q-2 u1,-(a+b∫R^3|?u2|^2dx)Δu2+λ2u2=μ2|u2|^2q-2 u2+b21|u1|^q|u2|^q-2 u2,u1∈H^1(R^3),u2∈H^1(R^3),其中a>0,b≥0,λi,μi(i=1,2)是任意给定的正常数,b 12=b 21>0且q∈(2,3)。分析非局部项(∫R^3|?ui|^2dx)带来的扰动影响,利用变分方法证明了系统存在一个正基态解(u1^*,u2^*),且ui^*(i=1,2)是径向对称衰减的。

关键词：薛定谔系统基尔霍夫项 Nehari流形基态解

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强阻尼非线性波动方程组解的研究

强阻尼非线性波动方程组解的研究

作者：李金蔚四川师范大学

学位级别：硕士

本文运用了Potential Well方法研究了一类强阻尼波动方程组初边值问题在Rn整体解的存在性,定义了该方程组的位势深度d,运用庞加莱-索伯列夫嵌入定理证明了位势深度d>0,再通过构建适当的能量函数E(t),稳定集和不稳定集,当初始值属于不稳... 详细信息

本文运用了Potential Well方法研究了一类强阻尼波动方程组初边值问题在Rn整体解的存在性,定义了该方程组的位势深度d,运用庞加莱-索伯列夫嵌入定理证明了位势深度d>0,再通过构建适当的能量函数E(t),稳定集和不稳定集,当初始值属于不稳定集时,解在有限时间爆破和解的衰减估计.第一章介绍了预备知识.第二章讨论了一类强阻尼波动方程组初边值问题在Rn解的存在性.第三章研究了一类强阻尼波动方程组初边值问题在Rn解的爆破,第四章介绍了一类强阻尼波动方程组初边值问题在Rn解的一致衰减估计.

关键词：强阻尼波动方程初边值问题 Nehari流形位势井稳定集不稳定集爆破衰减估计

一类带临界指数的椭圆方程组正解的存在性和多重性

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一类带临界指数的椭圆方程组正解的存在性和多重性

作者：魏巧玲中南民族大学

学位级别：硕士

本文主要研究了一类带有Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式和多个临界指数的奇异椭圆方程组（?）其中,（?）是包含原点的有界光滑区域,（?）是临界Sobolev - Hardy指数,（?）是最佳Hardy常数.（?）.本文的主要目标是证明该椭圆方程组正... 详细信息

本文主要研究了一类带有Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式和多个临界指数的奇异椭圆方程组（?）其中,（?）是包含原点的有界光滑区域,（?）是临界Sobolev - Hardy指数,（?）是最佳Hardy常数.（?）.本文的主要目标是证明该椭圆方程组正解的存在性和多重性. 首先,简要介绍了研究的问题、研究背景,以及前人的研究成果,并给出与本论文密切相关的一些符号和定义. 其次,由于嵌入H 01（?）Lp （?,| x |? bp）和H 01（?）L2 （?,| x |? 2 （1+ a））是非紧的,通常的变分法不能直接使用,给我们对该方程组的研究造成了很大的困难.因此,建立了该方程组所对应泛函的局部Palais - Smale条件.同时,由于椭圆方程组（1.1.1）具有多个临界指数的特殊性和复杂性,我们还需要对相关最佳常数之间的关系进行研究,并找出这些最佳常数之间的关系.这部分主要用到了集中紧性原理和变分不等式,并且充分利用了该方程组对应的能量泛函的截断技巧.由于能量泛函J在E: = H 01 （?）×H01（?）上没有下界,我们建立了Nehari流形,给出J在Nehari流形上的一些重要性质. 最后,利用上面这些结果,运用变分法等分析技巧,证明了在一定条件下椭圆方程组（1.1.1）正解（Mountain-pass解）的存在性和多重性.

关键词：奇异椭圆方程组临界指数 Nehari流形正解变分法

一类渐近线性薛定谔方程的基态解和多解的存在性

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浙江师范大学学报（自然科学版） 2016年第2期39卷 139-145页

作者：冯鹏涛沈自飞浙江师范大学数理与信息工程学院浙江金华321004

研究了一类拟线性薛定谔方程基态解的存在性和多解性问题,其中方程的非线性项是一个周期的、渐近线性的函数,且满足单调性条件.通过运用Nehari流形方法获得方程的基态解的存在性,并且当非线性项具奇性时,得到了方程无穷多几何不同解的... 详细信息

研究了一类拟线性薛定谔方程基态解的存在性和多解性问题,其中方程的非线性项是一个周期的、渐近线性的函数,且满足单调性条件.通过运用Nehari流形方法获得方程的基态解的存在性,并且当非线性项具奇性时,得到了方程无穷多几何不同解的存在性.

关键词：拟线性薛定谔方程基态解渐近线性 Nehari流形