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THE SHARP jackson inequality FOR L^2-APPROXIMATION ON THE PERIODIC CYLINDER

Acta Mathematica Scientia 2015年第2期35卷 375-382页

作者：谷懿刘永平 School of Mathematical Sciences Beijing Normal University

We consider jackson inequality in L^2 （B^d×T, Wκ,μ^B （x））, where the weight function Wκ,μ^B （X） is defined on the ball B^d and related to reflection group, and obtain the sharp jackson inequalityEn-1,m-1（f）2≤κn,m（τ,r）ωr（f,t）2,τ≥2τn,λ,where Tn,λ is the first positive zero of the Gegenbauer cosine polynomial Cn^λ （cos θ）（n ∈ N）.

关键词： jackson inequality best approximation modulus of continuity weight function

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The jackson inequality for the Best L^2-Approximation of Functions on [0,1] with the Weight x

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Numerical Mathematics(Theory,Methods and Applications) 2008年第3期1卷 340-356页

作者： Jian Li Yongping Liu School of Mathematical Sciences Beijing Normal University Beijing 100875China

Let L^2（[0, 1], x） be the space of the real valued, measurable, square summable functions on [0, 1] with weight x, and let n be the subspace of L2（[0, 1], x） defined by a linear combination of Jo（μkX）, where Jo is the Bessel function of order 0 and {μk} is the strictly increasing sequence of all positive zeros of Jo. For f ∈ L^2（[0, 1], x）, let E（f, n） be the error of the best L2（[0, 1], x）, i.e., approximation of f by elements of n. The shift operator off at point x ∈[0, 1] with step t ∈[0, 1] is defined by T（t）f（x）=1/π∫0^π f（√x^2 ＋t^2-2xtcosO）dθ The differences （I- T（t））^r/2f = ∑j=0^∞（-1）^j（j^r/2）T^j（t）f of order r ∈ （0, ∞） and the L^2（[0, 1],x）- modulus of continuity ωr（f,τ） = sup{｜｜（I- T（t））^r/2f｜｜：0≤ t ≤τ] of order r are defined in the standard way, where T^0（t） = I is the identity operator. In this paper, we establish the sharp jackson inequality between E（f, n） and ωr（f, τ） for some cases of r and τ. More precisely, we will find the smallest constant n（τ, r） which depends only on n, r, and % such that the inequality E（f, n）≤ n（τ, r）ωr（f, τ） is valid.

关键词： jackson inequality modulus of continuity best approximation Bessel function.

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加权L2（Bd×R）空间中的精确jackson不等式

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高等学校计算数学学报 2014年第4期36卷 360-369页

作者：谷懿刘永平北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统教育部重点实验室

1引言和本文主要结果1.1发展历史精确jackson不等式研究有50余年的历史.为了表述已知结果,我们引进一些必要的记号.令N表示正整数全体,R表示实数全体,Rd表示d维实欧氏空间.用C（T）(T=[-π,π])表示2π周期的实值连续函数空间,其中范数... 详细信息

1引言和本文主要结果1.1发展历史精确jackson不等式研究有50余年的历史.为了表述已知结果,我们引进一些必要的记号.令N表示正整数全体,R表示实数全体,Rd表示d维实欧氏空间.用C（T）(T=[-π,π])表示2π周期的实值连续函数空间,其中范数‖f‖c（T）=max{|f（x）|:x∈T}.记L2（T）为2π周期的且在任意有限区间上平方可积的实值函数空间,L2（R）为全实轴上平方可积的实值函数空间.用U代表T或R,线性赋范空间L2（U）的范数为

关键词： jackson inequality best approximation modulus of continuity Dunkl transform.

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Dunkl's Theory and Best Approximation by Entire Functions of Exponential Type in L_2-metric with Power Weight

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2014年第10期30卷 1748-1762页

作者： Yong Ping LIU Chun Yuan SONG School of Mathematical Sciences Beijing Normal University Laboratory of Mathematics and Complex Systems Ministry of Education

In this paper, we study the sharp jackson inequality for the best approximation of f ∈L2,k（Rd） by a subspace Ek2（σ）（SEk2（σ））, which is a subspace of entire functions of exponential type （spherical exponential type） at most σ. Here L2,k（Rd） denotes the space of all d-variate functions f endowed with the L2-norm with the weight vk（x）=Пζ∈R＋}（ζ,x）}2k（ζ）,which is defined by a positive subsystem R＋ of a finite root system R Rd and a function k（ζ）：R→R＋ invariant under the reflection group G（R） generated by R. In the case G（R） = Z2d, we get some exact results. Moreover, the deviation of best approximation by the subspace Ek2（σ）（SE2（σ）） of some class of the smooth functions in the space L2,k（Rd） is obtained.

关键词： Reflection group Dunkl transform Bessel function jackson inequality continuous modulus

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