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科技风 2024年第20期 10-12页

作者：赵坤张龄予广西师范大学数学与统计学院广西桂林541006

hopf纤维化是代数拓扑中经典的构造.它在理论物理学方面的应用十分广泛.例如:1-1共振(The One-to-one Resonance)、刚体的运动、磁单极子的势场、两态量子系统的Bloch球面(Bloch Sphere)表示、广义相对论里Taub-NUT空间的全局结构以及... 详细信息

hopf纤维化是代数拓扑中经典的构造.它在理论物理学方面的应用十分广泛.例如:1-1共振(The One-to-one Resonance)、刚体的运动、磁单极子的势场、两态量子系统的Bloch球面(Bloch Sphere)表示、广义相对论里Taub-NUT空间的全局结构以及庞加莱群(覆盖群的)的零质量螺旋度表示等.为了理解此构造,本文通过球极投影给出了hopf纤维化的几何直观.并且在此基础上利用计算机软件画出了部分的hopf纤维化.此外,由于在文献[1]中Thurston给出了hopf纤维化的诸多结论,但缺少证明.本文给出了相关结论的详细证明.

关键词： hopf纤维化球极投影纤维丛

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一类由hopf纤维化构造的Calabi-Yau流形

一类由Hopf纤维化构造的Calabi-Yau流形

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作者：谢学赐厦门大学

学位级别：硕士

在广义相对论中,宇宙常数为零的真空爱因斯坦场方程的解是一类Ricci平坦的Lorentzian度量.著名的Taub-NUT度量是该方程的一类重要特解,Gibbons和Hawking给出了对应的Ricci平坦的黎曼度量的例子,而且是一类具有特殊对称性的Calabi-Yau ... 详细信息

在广义相对论中,宇宙常数为零的真空爱因斯坦场方程的解是一类Ricci平坦的Lorentzian度量.著名的Taub-NUT度量是该方程的一类重要特解,Gibbons和Hawking给出了对应的Ricci平坦的黎曼度量的例子,而且是一类具有特殊对称性的Calabi-Yau 度量。本文的主要结论是Gibbons-Hawking度量可以由定义在R4 × S1上形如φ(r)(ds+φ(r)dθ)的度量经过hopf纤维化得到。我们将给出一般的定义在I × S3 × S1上的Doubly Warped Products度量的曲率公式,并通过黎曼淹没的观点给出其经过hopf纤维化后得到的像流形I× S3上的度量及其共形度量的曲率计算公式。最后,我们应用这一观点来解释Gibbons-Hawking度量,并尝试推广这一构造过程,得到更多的Calabi-Yau流形的例子。

关键词： Ricci平坦度量 hopf纤维化 Calabi-Yau流形

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关于调和同态的一个Bernstein型定理

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科学通报 1996年第19期41卷 1735-1737页

作者：东瑜昕杭州大学数学系杭州310028

设φ:M→N是Riemann流形间的光滑映照。如果φ将N上调和函数芽拉回到M上的调和函数芽,则称φ为调和同态。调和同态等价于水平弱共形调和映照。研究调和同态的文章已越来越多,尤其在低维流形情形(参见文献[3～7])。在文献[4]中,Baird和W... 详细信息

设φ:M→N是Riemann流形间的光滑映照。如果φ将N上调和函数芽拉回到M上的调和函数芽,则称φ为调和同态。调和同态等价于水平弱共形调和映照。研究调和同态的文章已越来越多,尤其在低维流形情形(参见文献[3～7])。在文献[4]中,Baird和Wood证得:(ⅰ)任何从三维球面(S^3,g_(can))到一Riemann曲面N^2的非常值调和同态必为hopf纤维化π:S^3→S^2与一个弱共形映照的复合。特别地,N^2=S^2。(ⅱ)任何从R^3到N^2的非常值调和同态是正交投影R^3→R^2与一个弱共形映照的复合。本文希望将此结果推广到高维。

关键词：调和同态 hopf纤维化测地线 Bernstein定理

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关于三类特殊曲面的显式构造

关于三类特殊曲面的显式构造

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作者：贾会才郑州大学

学位级别：硕士

本文内容分两章。第一章中，我们用3维球面和3维反de Sitter空间中的Legendre曲线分别构造出CP和CH中Lagrange曲面，进而利用Legendre曲线的曲率性质对这些Lagrange曲面的极小性进行了刻画。第二章中，我们研究了双曲空间H（-1）中的常G... 详细信息

本文内容分两章。第一章中，我们用3维球面和3维反de Sitter空间中的Legendre曲线分别构造出CP和CH中Lagrange曲面，进而利用Legendre曲线的曲率性质对这些Lagrange曲面的极小性进行了刻画。第二章中，我们研究了双曲空间H（-1）中的常Gauss曲率曲面。首先，我们构造了双曲空间H（-1）中一类互不合同的常Gauss曲率曲面，这些曲面的主曲率都是有界的;然后我们给出了一类从H（c）(-1＜c＜0)到H（-1）的等距浸入，这些浸入具有无界的主曲率。

关键词： Legendre曲线 Lagrange浸入 hopf纤维化平均曲率极小浸入等距浸入双曲空间主曲率

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复射影空间中子流形的几何与拓扑研究

复射影空间中子流形的几何与拓扑研究

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作者：夏霖浙江大学

学位级别：硕士

本文主要研究了复射影空间中紧致连通子流形的整pinching问题和逐点pinching问题。在本文第一章中运用hopf纤维化方法研讨了复射影空间中极小子流形的整体pinching问题,得到了: 定理A.设CP(4)为具有全纯截面曲率4的复射影空间,φ:M→CP... 详细信息

本文主要研究了复射影空间中紧致连通子流形的整pinching问题和逐点pinching问题。在本文第一章中运用hopf纤维化方法研讨了复射影空间中极小子流形的整体pinching问题,得到了: 定理A.设CP(4)为具有全纯截面曲率4的复射影空间,φ:M→CP(4)为CP(4)中实2n维紧致极小子流形,R为M的数量曲率.如果其中C(n)是仅和n有关的正常数,那么M为全测地子流形CP。文中还讨论了四元数射影空间中的紧致极小子流形的整体pinching问题,给出了上述结果的一个推广。对于复射影空间中一般的闭子流形,本文运用hopf纤维化方法证明了下述: 定理B.设CP(4)为具有全纯截面曲率4的复射影空间,φ:M→CP(4)为CP(4)中实2n维的紧致黎曼子流形,则存在仅与n有关的正常数D(n)使得其中β为M的提升M的第i个Betti数,H为M的平均曲率。关于复射影空间中Kaehler子流形的逐点pinching问题的研究具有十分悠久的历史。设CP为具有常全纯截面曲率1的n+p维复射影空间,M为CP中的n维完备Kaehler子流形,***[10]在七十年代曾提出过四个著名猜想。其中的第一和第三个猜想已获解决。本文在第二章中研讨了CP中具平坦法丛的Kaehler子流形的一个刚性问题,获得下述结果: 定理C.设M(n>4)为CP中具平坦法丛的n维紧致Kaehler子流形,若M的截曲率K>0,则M为全测地子流形CP。定理C.推进了***猜想的研究。

关键词：复射影空间整体pinching hopf纤维化 Ogiue’s猜想 Kaehler子流形

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