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凸体覆盖泛函的估计与关于凸体覆盖的hadwiger猜想

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陕西师范大学学报（自然科学版） 2023年第1期51卷 44-49页

作者：吴森林吕亚方张珂珂中北大学数学学院山西太原030051

凸体覆盖泛函的估值是凸几何和离散几何中的一个自然、基本且有难度的研究问题。该文回顾了凸体覆盖泛函的定义,阐明凸体覆盖泛函的估计与关于凸体覆盖的hadwiger猜想之间的关系,介绍了基于凸体覆盖泛函估计的用以攻克hadwiger猜想不等... 详细信息

凸体覆盖泛函的估值是凸几何和离散几何中的一个自然、基本且有难度的研究问题。该文回顾了凸体覆盖泛函的定义,阐明凸体覆盖泛函的估计与关于凸体覆盖的hadwiger猜想之间的关系,介绍了基于凸体覆盖泛函估计的用以攻克hadwiger猜想不等式部分的方案,综述了有关凸体覆盖泛函估计的现有结果。

关键词：凸体 hadwiger猜想覆盖泛函

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关于凸体覆盖的hadwiger猜想

哈尔滨理工大学学报 2014年第1期19卷 117-123页

作者：吴森林王丹庞海婧哈尔滨理工大学应用科学学院黑龙江哈尔滨150080

针对hadwiger猜想这一凸和离散几何中持续了近60年的著名难题,回顾了这一猜想的提出,它的若干等价形式,以及前人在尝试解决这一猜想的过程中取得的阶段性进展.介绍了该猜想相关的若干研究问题及相应结果.结果表明:一方面,hadwiger猜想... 详细信息

针对hadwiger猜想这一凸和离散几何中持续了近60年的著名难题,回顾了这一猜想的提出,它的若干等价形式,以及前人在尝试解决这一猜想的过程中取得的阶段性进展.介绍了该猜想相关的若干研究问题及相应结果.结果表明:一方面,hadwiger猜想仍是一个远未解决的公开难题;另一方面,围绕着hadwiger猜想及其相关问题还有大量亟待完成的基础性研究工作。

关键词： hadwiger猜想凸体位似体等宽体

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5色图包含子式K_5^-的一个简单证明

北京交通大学学报 2006年第3期30卷 69-71页

作者：陈仪朝刘彦佩王涛北京交通大学理学院北京100044

hadwiger提出如下猜想:若G是k色图,则包含子式Kk,其中k=5时等价于四色定理.本文给出了5色图的一个必要条件,即5色图包含子式K5-.

关键词： hadwiger猜想四色定理子式

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特殊凸体边界小位似体覆盖

哈尔滨理工大学学报 2019年第2期24卷 115-120页

作者：计东海吕德晶马泽敏哈尔滨理工大学理学院

针对覆盖n维凸体K所需K的内部的平移的最小数目c(K)不超过2n的hadwiger猜想,依据c(K)等于覆盖K的边界bdK所需K的位似系数相同的小位似体的最小数目这一核心结果,借鉴将c(K)的估值问题连续化的方法,研究了用m个K的位似系数相同的小位似... 详细信息

针对覆盖n维凸体K所需K的内部的平移的最小数目c(K)不超过2n的hadwiger猜想,依据c(K)等于覆盖K的边界bdK所需K的位似系数相同的小位似体的最小数目这一核心结果,借鉴将c(K)的估值问题连续化的方法,研究了用m个K的位似系数相同的小位似体覆盖bdK所需最小位似系数γm(K)精确值的估算问题。得到了当K是正四面体时γ4(K)和γ8(K)的值以及当K是正八面体时γ6(K),γ7(K)和γ8(K)的值,并证明了当K是R^n中以n-1维凸体D为底的柱体时γ2n(K)=Γ2n(K)=Γ2n-1(D),其中Γm(K)表示用m个K的位似系数相同的小位似体覆盖K所需最小位似系数。

关键词：凸体覆盖小位似体 hadwiger猜想

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凸体边界的小位似体覆盖

凸体边界的小位似体覆盖

作者：吕德晶哈尔滨理工大学

学位级别：硕士

针对在n维空间中覆盖n维凸体K所需凸体K的内部的平移的最小数目c(K)不超过2n的hadwiger猜想,依据c(K)等于覆盖K的边界bdK所需凸体K的位似系数相同的小位似体的最小数目这一核心结果,借鉴将c(K)的估值问题连续化的方法,研究了用正整数m个... 详细信息

针对在n维空间中覆盖n维凸体K所需凸体K的内部的平移的最小数目c(K)不超过2n的hadwiger猜想,依据c(K)等于覆盖K的边界bdK所需凸体K的位似系数相同的小位似体的最小数目这一核心结果,借鉴将c(K)的估值问题连续化的方法,研究了用正整数m个K的位似系数相同的小位似体覆盖bdK所需小位似体的最小位似系数γm(K)精确值的估算问题。首先,根据γm(·)定义中的“inf”可被“min”替代,以及在凸体构成的空间中泛函γm(·)是仿射不变量,证明了在BANACH-MAZUR距离下n维凸体等价类构成的空间中,对任一正整数m,泛函γm(·)是一致连续的和LIPSCHITZ连续的,其中,LIPSCHITZ 常数是(n2-1)/(21nn)。其次,在二维凸体构成的空间中,证明了γ5(·)的下确界等于1/2。在二维空间中,给定一个特殊凸体K和给定一个正整数m,得到了γm(K)的精确值。同时,得到了在三维空间中,当K是正四面体时,γ4(K)和γ8(K)的精确值,以及当K是正八面体时,γ6(K),γ7(K)和γ8(K)的精确值。并证明了当K是Rn中以n-1维凸体D为底的柱体时，γ2n(K)=T2n(D),其中Tm(K)表示用m个凸体K的位似系数相同的小位似体覆盖K所需小位似体的最小位似系数。最后,借助凸性模和方向凸性模给出了n维中心对称凸体K的边界覆盖泛函γm(K)的一个估计方法及该方法的严格证明,同时证明了当n=2且m=4时,该估计方法得到的值是最好的。

关键词：凸体覆盖 hadwiger猜想小位似体

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凸体的覆盖与照亮相关问题的研究

凸体的覆盖与照亮相关问题的研究

作者：王丹哈尔滨理工大学

学位级别：硕士

1957年hadwiger提出了有关凸体覆盖的hadwiger猜想（下文简记为H-猜想）。虽然许多数学家围绕着此猜想做了不少重要的工作，且H-猜想也被多篇综述与多本专著反复提及，但直到今天，人们对于这一猜想还是知之甚少。此猜想在3中就已经是... 详细信息

1957年hadwiger提出了有关凸体覆盖的hadwiger猜想（下文简记为H-猜想）。虽然许多数学家围绕着此猜想做了不少重要的工作，且H-猜想也被多篇综述与多本专著反复提及，但直到今天，人们对于这一猜想还是知之甚少。此猜想在3中就已经是一个远未解决的公开问题，它的完全解决就更是遥遥无期。毫无疑问，该猜想的彻底解决仍然需要更多新的思想以及长期和艰苦的工作。鉴于此种情形，本课题将主要研究凸体的覆盖和照亮问题，为解决H-猜想做出贡献。本文简要的回顾了H-猜想的起源，它的若干等价形式以及通过直接估计覆盖凸体K所需的K的内部的平移的最小数目c （K）来攻克H-猜想的一些尝试，这些基本结果为本文的研究奠定了良好的基础。本文的第一部分主要工作用两种不同的方法证明了M. Lassak在1988年给出但没有仔细证明的如下结论： c （K）等于覆盖K的边界所需的K的小位似体的最小数目。其次，本文证明了当凸体的边界可被若干方向（可被视为若干平行光束）照亮时，这些光束的“宽度”可以被一致的压缩，并借此给出了覆盖凸体所需的小位似体的最小数目等于照亮该凸体的边界所需方向的最小个数这一结论的新的证明。最后，我们给出了3中的一类特殊凸体c （K）上界的估计。

关键词：凸体覆盖照亮 hadwiger猜想

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图论与拓扑、图论与代数交叉问题的案例研究

图论与拓扑、图论与代数交叉问题的案例研究

作者：王献芬河北师范大学

学位级别：硕士

在数学科学内部,不同学科分支之间思想和方法相互交叉、彼此渗透是数学科学发展的一大重要趋势;本文围绕这一中心思想,选取图论与拓扑、图论与代数的交叉问题作为主要案例,尝试以一些典型问题作个案分析,从历史发展观的角度,对每个问题... 详细信息

在数学科学内部,不同学科分支之间思想和方法相互交叉、彼此渗透是数学科学发展的一大重要趋势;本文围绕这一中心思想,选取图论与拓扑、图论与代数的交叉问题作为主要案例,尝试以一些典型问题作个案分析,从历史发展观的角度,对每个问题采用时序分析,遵循思想演绎规律,探讨了这种交叉融合发展到一定程度将导致重大发现,甚至交叉学科的产生;指出交叉问题的历史研究对阐明数学的发展规律有特殊意义;同时笔者认为,这种通过数学内部的因素——交叉问题来分析数学学科发展的动力,是数学史研究中的一个新的分析方向。在具体内容上,全文共分四部分,其中第一部分从多面体公式到欧拉-庞加莱示性数,考察了这一过程是怎样超越了度量观念,又是如何朝向拓扑发展的;第二部分介绍从Guthrie问题到hadwiger猜想的思想演变,考察了染色问题的两条发展路线;一方面由于曲面拓扑特征的考虑,从而导致着色数理论的形成,对拓扑图论的发展起着重要的里程碑意义;另一方面剖析了Wagner定理引发hadwiger提出著名猜想的关键性因素,首次指出“缩图”(Graph Minor)的引入开拓了研究染色问题的新视角,从而使染色问题得到进一步区分和一般化。这两部分均属于图论与拓扑交叉问题的范例;第三部分介绍回路的代数化思想,阐述了在回路基础集构造方面,代数工具和代数方法不断深入的过程,以及这个过程如何促使惠特尼最早引入了拟阵(1935年)。第四部分从最简单的图——树及其早期计数开始描述,直到波利亚计数定理的提出,这是一个与置换群的思想相联系的理论,为进一步研究其所蕴含的交叉思想给出了一个良好开端!回路的代数化、树的计数理论的发展是关于图论与代数的两个经典问题。从整体上看,这四部分合起来论述了数学科学内部学科的交叉渗透的演化趋势,同时考察这些交叉问题的历史背景和发展过程也是体现数学统一性的一个重要方面,对深刻理解现代数学交叉渗透的趋势是很有价值的。

关键词：多面体公式欧拉-庞加莱示性数 Guthrie问题 hadwiger猜想 Wagner定理缩图(graph minor) 回路基础集波利亚计数定理

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单位球面被照亮的球冠相关问题的研究

单位球面被照亮的球冠相关问题的研究

作者：佟欣欣哈尔滨理工大学

学位级别：硕士

二十世纪中期,hadwiger提出了著名的hadwiger猜想。近些年来,虽然许多学者对hadwiger猜想进行了大量的研究,但是此猜想仅在二维空间中得到解决。要想解决该问题必须寻找新的证明方法和思路。因此本课题将通过研究单位球面被照亮球冠的... 详细信息

二十世纪中期,hadwiger提出了著名的hadwiger猜想。近些年来,虽然许多学者对hadwiger猜想进行了大量的研究,但是此猜想仅在二维空间中得到解决。要想解决该问题必须寻找新的证明方法和思路。因此本课题将通过研究单位球面被照亮球冠的相关问题入手,考虑hadwiger猜想关于中心对称凸体的情形。首先,本文介绍hadwiger猜想的起源,简述前人对H-猜想的研究结果,综述定义在凸体K上的若干泛函对c(K)值的上界进行间接的估计的几个重要方法,并介绍有关中心对称凸体的广义遮挡数的相关结果。其次,鉴于一个有限维Banach空间单位球的被照亮的球冠的性质在中心对称凸体的hadwiger覆盖问题中扮演重要的角色,给出了被照亮的球冠的基本性质,并对实有限维Banach空间中单位球面的被照亮的球冠的形状进行了刻画。进一步,我们研究了内积空间的特征性质,并给出了一个至少为三维的严格凸的赋范线性空间是一个内积空间的两个充要条件。同时我们研究了被照亮球冠的极大性,并给出了被照亮球冠是极大的充要条件。另外,证明了对于光滑的赋范线性空间,单位球面上的任一被照亮的球冠是极大的。最后,本文给出了被照亮的球冠的内心和内径定义,并研究了被照亮的球冠的内心的存在性。另外,本文还给出了被照亮的球冠的外径的定义,并给出了它的上下界及达到上下界的充要条件。同时由被照亮的球冠的极大性及内外径的定义引入了两个新的几何常数,并得到了它们的大小关系及它们的上下界。

关键词：凸体覆盖被照亮的球冠 hadwiger猜想

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凸体的照亮构图相关问题的研究

凸体的照亮构图相关问题的研究

作者：庞海婧哈尔滨理工大学

学位级别：硕士

20世纪中期hadwiger提出了关于覆盖和照亮凸体的著名猜想——hadwiger猜想。半个多世纪以来，hadwiger猜想引起众多数学家关注和研究。虽然hadwiger猜想在2维的情况已经彻底解决，但是我们对3维及3维以上空间的hadwiger猜想知道的还是... 详细信息

20世纪中期hadwiger提出了关于覆盖和照亮凸体的著名猜想——hadwiger猜想。半个多世纪以来，hadwiger猜想引起众多数学家关注和研究。虽然hadwiger猜想在2维的情况已经彻底解决，但是我们对3维及3维以上空间的hadwiger猜想知道的还是少之又少，距离hadwiger猜想的彻底解决更是遥遥无期。因此，要想尝试彻底解决hadwiger猜想还需要更多的努力和更多的创新。正因为如此，本课题将尝试通过研究凸体的数量特征实现对某些特殊凸体的覆盖数的间接估计，希望能对hadwiger猜想的进展做出贡献。本文首先回顾了hadwiger猜想的起源和它的几个等价形式以及通过研究K的数量特征来实现对c （K）间接估计的几种方法。作为本文的主要内容，我们引入了凸体的照亮构图的概念，并通过考虑凸体的照亮构图与该凸体的位置关系引入了新的几何常数ι （K,m）。而后，我们研究了ι （K,m）的一些简单性质及其关于非奇异线性变换的不变性。最后，我们计算了一些多面体ι （K,m）的值，并对某些凸多面体及2维欧式空间的单位球给出了ι （K,m）的值的估计。

关键词：凸体覆盖照亮 hadwiger猜想