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一类高阶抛物方程的解的唯一性

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工程数学学报 1989年第3期6卷 103-107页

作者：陈继乾朱秉林四川建材学院辽宁师范大学

本文采用L2模形式的辅助积分探讨一类六阶抛物方程组的混合问题解的唯一性,类似于文[2]又获得八阶抛物方程对自由项与初值的连续相依性定理,且以解的唯一性作为推论。主要结果是定理1与定理2。

关键词：高阶抛物方程解唯一性 L2模积分

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一类高阶抛物方程的时间周期解

一类高阶抛物方程的时间周期解

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作者：张洪萍吉林大学

学位级别：硕士

偏微分方程是反映未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式,它可以用来刻画许多研究领域中的数学模型.抛物方程是偏微分方程的一个重要分支,其中扩散方程又是一类非常重要的抛物方程,它来源于自然界中广泛存在的... 详细信息

偏微分方程是反映未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式,它可以用来刻画许多研究领域中的数学模型.抛物方程是偏微分方程的一个重要分支,其中扩散方程又是一类非常重要的抛物方程,它来源于自然界中广泛存在的扩散现象、渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体学等研究领域.扩散方程的研究一直备受关注.自十九世纪初,数学工作者开始致力于对扩散方程的研究.研究方向当然不局限于解的存在性、惟一性、正则性和渐近性,其中周期问题一直是研究的热点.到现在为止关于二阶抛物方程的研究较多,并且有了较为成熟的体系和方法,而且很多结果已经被推广到高维空间.越来越多的数学工作者开始关注高阶抛物方程的研究工作.本文将研究一类高阶抛物方程的时间周期解. 在过去许多年,四阶人口模型和Cahn-Hilliard方程周期解得到了大量研究.Y. P. Wang证明了一维情形的时间周期问题的广义时间周期解的存在惟一性Y. L. Zhang等证明了上述方程的二维情形广义时间周期解的整体存在性和古典时间周期解的的存在惟一性. Cahn-Hilliard型方程可以用来刻画生物种群竞争与排斥、受环境影响的人口扩散与迁徙等扩散现象J. X. Yin等证明了如下的具周期位势和周期源的Cahn-Hilliard型方程在Dirichlet边值条件下时间周期解的存在惟一性.***等讨论了如下的方程在Neumann边值条件下时间周期解的存在性.此外,李颖花研究了上述方程带粘性项的情形,即具周期位势和周期源的粘性Cahn-Hilliard型方程,并且得到了时间周期解的存在性. Y ***等研究如下的具周期梯度相关位势和周期源的Cahn-Hilliard型方程在Dirichlet边值条件下时间周期解的存在性和吸引性.另外,李颖花也考察了上述方程含粘性项情形,即具周期梯度相关位势和周期源的粘性Cahn-Hilliard型方程. 房莉研究了一维空间中具变迁移率的粘性Cahn-Hilliard型方程以及具常迁移率或变迁移率的的对流Cahn-Hilliard方程时间周期解的存在性. 四阶抛物方程的研究方法与研究结果使我们深受启发,本文我们将研究两类六阶抛物方程的时间周期问题. 第二章讨论二维空间中的六阶抛物方程,即研究如下的六阶抛物方程其中Q=Ω×(0,+∞),Ω是R2中的具光滑边界的有界区域γ>0,φ(s,t)=a(t)|s|p-1s-b(t)s,p≥2,a(t),b(t)是C1+α(R+)中的ω周期函数,α∈(0,1),ω>0,f(x,t)是C3+α,α/6(Q)中的非平凡的ω周期函数.应用Leray-Schauder不动点定理证明上述方程在边值条件和周期条件下时间周期解的存在性. 第三章研究下面的六阶Cahn-Hilliard方程其中Q=Ω×(0,+∞),Ω是R2中的具光滑边界的有界区域ψ(u,t)=-a(t)u3+b(t)u,a(t)和b(t)是定义在R+上的以ω为周期的Holder连续函数,f(x,t)∈Cα,α/6(Q),α∈(0,1),并且满足f(x,0)=f(x,ω). 这类方程具有丰富的背景和理论内涵.关于六阶抛物方程周期解的研究还刚刚开始.我们将考虑上述问题在二维空间周期解的存在性.我们的困难主要是四阶扩散项以及对流项所带来的,我们需要得到Δu的Holder模的估计.借助Campanato空间和Schauder型估计,我们得到所需的估计,最后应用Leray-Schauder不动点定理得到问题时间周期解的存在性.

关键词：高阶抛物方程时间周期解存在性

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一类高阶抛物方程解的衰减与爆破

一类高阶抛物方程解的衰减与爆破

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作者：闫东泽吉林大学

学位级别：硕士

本文主要研究如下高阶抛物方程其中a(s)=a2|s|2,Ω?Rn(n ≤ 3)为具有光滑边界?Ω的有界区域,而且参数p,q满足以下条件q>p>4.本文采用位势井的方法进行研究.我们通过运用Galerkin方法,单调算子理论证明了全局弱解的存在性.然后在低初始能... 详细信息

本文主要研究如下高阶抛物方程其中a(s)=a2|s|2,Ω?Rn(n ≤ 3)为具有光滑边界?Ω的有界区域,而且参数p,q满足以下条件q>p>4.本文采用位势井的方法进行研究.我们通过运用Galerkin方法,单调算子理论证明了全局弱解的存在性.然后在低初始能量(J(u0)=d,I(u0)>0)时,求出衰减估计,在I(u0)<0时,用反证法证明出解在有限时间发生爆破.

关键词：高阶抛物方程全局弱解衰减爆破

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具变指数高阶抛物方程弱解的存在性和唯一性

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北华大学学报（自然科学版） 2011年第5期12卷 515-522页

作者：高云柱盖虹孟曦北华大学数学学院吉林吉林132033 吉林大学数学研究所吉林长春130012

考察了一类变指数高阶抛物方程弱解的存在性和唯一性问题.结合Steklov平均数以及Orlicz-Musielak空间,根据时间离散方法和解的先验界估计,得到了该问题解的存在性和唯一性.

关键词：变指数高阶抛物方程弱解存在性唯一性

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位势井法在几类非线性抛物方程上的应用

位势井法在几类非线性抛物方程上的应用

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作者：徐光玉西南大学

学位级别：硕士

通过运用位势井法和一些微分不等式技巧,本文旨在研究几类非线性抛物方程解的渐进性质,例如解的全局存在、有限时刻爆破、真空隔离现象等等.首先,我们研究一类半线性伪抛物方程.在低初始能量下,本文考察了方程解的真空隔离现象,并得到... 详细信息

通过运用位势井法和一些微分不等式技巧,本文旨在研究几类非线性抛物方程解的渐进性质,例如解的全局存在、有限时刻爆破、真空隔离现象等等.首先,我们研究一类半线性伪抛物方程.在低初始能量下,本文考察了方程解的真空隔离现象,并得到了方程解的真空区域;对于高初始能量的情况,本文得到了一个新的使解在有限时刻爆破的充分条件,在此条件下我们还对爆破时间做了上界估计,而且我们证明了高初始能量下爆破解的存在性.其次,文章研究了一类四阶且带有Hessian项的非线性抛物方程.本文的结果表明,在负初始能量下问题的解会按照L2-范数在有限时刻爆破.同时,我们对爆破时间和爆破速率做了上界估计;而对于高初始能量,我们也分别得到了解全局存在和有限时刻爆破的充分条件.最后,本文讨论了一类非牛顿多方渗流方程,得到了其解在不同初始能量下的存在情况.在临界和高初始能量情况下,我们分别得到了解全局存在和在有限时刻爆破的结果,而且对于临界初始能量的情况,我们还得到了解在有限时刻熄灭与非熄灭的初始条件.具体地,本文将分为以下四个章节:第一章,首先对位势井法做一个简单的介绍,其次给出本文所讨论的3类非线性抛物方程的研究背景、现有结果,并在此基础上,引出本文的研究目的及方法.第二章,研究一类带有齐次Dirichlet边界的半线性伪抛物方程的初边界值问题.当初始能量大于0小于位势井度时,我们得到了一个解的环形真空区域.也就是说,此时问题的解均孤立于此环形区域.我们还证明了在此区域的内部(称之为“全局区域”)问题的解均全局存在,而在此区域的外部(称之为“爆破区域”)解均会在有限时刻爆破;当初始能量小于等于0时,我们得到了解的球形真空区域.此时“全局区域”消失,在此区域的外部解均会在有限时刻爆破.对于任意高的初始能量,我们给出了解在有限时刻爆破的充分条件,并在此条件下对爆破时间做了上界估计,最后证明了方程存在具有任意高初始能量的爆破解.第三章,在齐次Dirichlet边界条件下,我们讨论一类四阶且带有Hessian项的非线性抛物方程的初边界值问题.在现有结果的基础上,本章我们研究了此类系统的两个公开问题,即Lp-范数爆破和高初始能量下解的存在情况.第四章,我们考察了一类带有齐次Dirichlet边界的非牛顿多方渗流方程的初边界值问题.在初始能量等于和大于位势井度的前提下,本章得出了解的全局存在与有限时刻爆破的初始条件.特别地,当初始能量等于位势井度时,我们证明了模型的全局解将按照指数形式衰减,且得到了解在有限时刻熄灭与非熄灭的结果;当初始能量大于位势井度时,我们找到了解全局存在的初始条件,并且证明了解随着时间趋于无穷而趋于0.同时我们也给出了使解在有限时刻或无穷远时刻爆破的初始条件.

关键词：伪抛物方程高阶抛物方程高初始能量全局存在爆破爆破时间估计爆破速率估计熄灭

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