一类高阶抛物方程的时间周期解

作     者：张洪萍 

作者单位：吉林大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘长春

授予年度：2013年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：高阶抛物方程 时间周期解 存在性 

摘      要：偏微分方程是反映未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式,它可以用来刻画许多研究领域中的数学模型.抛物方程是偏微分方程的一个重要分支,其中扩散方程又是一类非常重要的抛物方程,它来源于自然界中广泛存在的扩散现象、渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体学等研究领域.扩散方程的研究一直备受关注.自十九世纪初,数学工作者开始致力于对扩散方程的研究.研究方向当然不局限于解的存在性、惟一性、正则性和渐近性,其中周期问题一直是研究的热点.到现在为止关于二阶抛物方程的研究较多,并且有了较为成熟的体系和方法,而且很多结果已经被推广到高维空间.越来越多的数学工作者开始关注高阶抛物方程的研究工作.本文将研究一类高阶抛物方程的时间周期解. 在过去许多年,四阶人口模型和Cahn-Hilliard方程周期解得到了大量研究.Y. P. Wang证明了一维情形的时间周期问题的广义时间周期解的存在惟一性Y. L. Zhang等证明了上述方程的二维情形广义时间周期解的整体存在性和古典时间周期解的的存在惟一性. Cahn-Hilliard型方程可以用来刻画生物种群竞争与排斥、受环境影响的人口扩散与迁徙等扩散现象J. X. Yin等证明了如下的具周期位势和周期源的Cahn-Hilliard型方程在Dirichlet边值条件下时间周期解的存在惟一性.***等讨论了如下的方程在Neumann边值条件下时间周期解的存在性.此外,李颖花研究了上述方程带粘性项的情形,即具周期位势和周期源的粘性Cahn-Hilliard型方程,并且得到了时间周期解的存在性. Y ***等研究如下的具周期梯度相关位势和周期源的Cahn-Hilliard型方程在Dirichlet边值条件下时间周期解的存在性和吸引性.另外,李颖花也考察了上述方程含粘性项情形,即具周期梯度相关位势和周期源的粘性Cahn-Hilliard型方程. 房莉研究了一维空间中具变迁移率的粘性Cahn-Hilliard型方程以及具常迁移率或变迁移率的的对流Cahn-Hilliard方程时间周期解的存在性. 四阶抛物方程的研究方法与研究结果使我们深受启发,本文我们将研究两类六阶抛物方程的时间周期问题. 第二章讨论二维空间中的六阶抛物方程,即研究如下的六阶抛物方程其中Q=Ω×(0,+∞),Ω是R2中的具光滑边界的有界区域γ0,φ(s,t)=a(t)|s|p-1s-b(t)s,p≥2,a(t),b(t)是C1+α(R+)中的ω周期函数,α∈(0,1),ω0,f(x,t)是C3+α,α/6(Q)中的非平凡的ω周期函数.应用Leray-Schauder不动点定理证明上述方程在边值条件和周期条件下时间周期解的存在性. 第三章研究下面的六阶Cahn-Hilliard方程其中Q=Ω×(0,+∞),Ω是R2中的具光滑边界的有界区域ψ(u,t)=-a(t)u3+b(t)u,a(t)和b(t)是定义在R+上的以ω为周期的Holder连续函数,f(x,t)∈Cα,α/6(Q),α∈(0,1),并且满足f(x,0)=f(x,ω). 这类方程具有丰富的背景和理论内涵.关于六阶抛物方程周期解的研究还刚刚开始.我们将考虑上述问题在二维空间周期解的存在性.我们的困难主要是四阶扩散项以及对流项所带来的,我们需要得到Δu的Holder模的估计.借助Campanato空间和Schauder型估计,我们得到所需的估计,最后应用Leray-Schauder不动点定理得到问题时间周期解的存在性.