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单参多极值点复解析多项式映射迭代函数系

小型微型计算机系统 2019年第6期40卷 1354-1360页

作者：陈宁关博文海智刚沈阳建筑大学信息与控制工程学院

本文研究具有多极值点的单参复解析映射族f(z)=z^n+cz构造非线性迭代函数系及其分形.首先分析复解析映射族f(z)=z^n+cz在动力平面上的数学特性、M集及充满Julia集的几何特点;进而研究该复映射族在其M集的2个1周期参数区域上选取参数构... 详细信息

本文研究具有多极值点的单参复解析映射族f(z)=z^n+cz构造非线性迭代函数系及其分形.首先分析复解析映射族f(z)=z^n+cz在动力平面上的数学特性、M集及充满Julia集的几何特点;进而研究该复映射族在其M集的2个1周期参数区域上选取参数构造的迭代映射在动力平面上的动力学特性;在参数模值大于1的1周期参数区域中挑选N(N≥2)个参数,构造动力平面上的迭代映射(f(z)=z^n+ciz,i=1,2,…,N);在N个迭代映射的公共吸引域内构造非线性迭代函数系;根据该复映射族在动力平面上有n-1个对称分布的1周期吸引不动点的数学特性,提出了将迭代点z随机旋转(2πj/(n-1),j={0,1,…,n-2})角度后再随机挑选迭代函数系中迭代映射的双随机迭代算法.结果表明:关于复映射族(f(z)=z^n+cz,n=3,4,5,…),在M集的参数|c|>1的1周期参数区域挑选N个参数可以构造出有效的非线性迭代函数系;采用本文提出的双随机迭代算法可以在动力平面上大量生成n-1旋转对称分形.

关键词：迭代函数系分形复映射 M集充满Julia集多极值点

由2次单参复解析多项式构造非线性迭代函数系

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计算机辅助设计与图形学学报 2016年第2期28卷 255-259页

作者：陈宁冯冬冬沈阳建筑大学信息与控制工程学院沈阳110168

为了构造新形式的分形,提出利用单参复解析2次多项式映射构造非线性迭代函数系.首先构造出2次多项式复映射在参数平面上的1周期参数集合;然后在该集合上随机挑选2个以上的参数,由这些参数建立一组迭代映射,用这组迭代映射构造出一个由... 详细信息

为了构造新形式的分形,提出利用单参复解析2次多项式映射构造非线性迭代函数系.首先构造出2次多项式复映射在参数平面上的1周期参数集合;然后在该集合上随机挑选2个以上的参数,由这些参数建立一组迭代映射,用这组迭代映射构造出一个由单参的2次复解析压缩映射构造的非线性压缩IFS迭代函数系;最后对迭代函数系中的一个迭代映射在平面上的压缩不动点连续迭代,构造出相应的奇怪吸引子或分形.实验结果表明,该方法可以用于大量构造平面上的奇怪吸引子或分形,图形结构新颖.

关键词：分形迭代函数系非线性动力学 M集充满Julia集奇怪吸引子

由复解析映射f（z）=λcosn（z）构造的非线性迭代函数系的研究

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由复解析映射f（z）=λcosn（z）构造的非线性迭代函数系的研究

作者：海智刚沈阳建筑大学

学位级别：硕士

非线性科学领域中极其重要的一部分是混沌科学与分形理论,现已得到科学界的广泛重视。混沌分形的思想目前已应用在物理学、生物医学、天文学、社会科学以及计算机科学等领域,推动了各个学科领域的发展。分形理论的研究借助飞速提升的计... 详细信息

非线性科学领域中极其重要的一部分是混沌科学与分形理论,现已得到科学界的广泛重视。混沌分形的思想目前已应用在物理学、生物医学、天文学、社会科学以及计算机科学等领域,推动了各个学科领域的发展。分形理论的研究借助飞速提升的计算机技术不断取得新的研究成果,同时,通过新的构造分形的方法,大量结构新颖、极具艺术价值的分形图形被构造出来。在分形研究中利用IFS（iterated function system）来构造分形是一项重要工作,近年来,随着IFS构造分形技术在各领域广泛应用,构造IFS的方法以及各种IFS本身的数学性质方面的研究成果也不断出现。IFS的构造已从采用线性的压缩仿射映射到采用非线性的压缩映射。本文尝试采用复余弦映射族f（z）=λcosn（z）当n≥1时,探讨其参数平面上的M集周期芽苞的排列规律,以及采用周期参数构造IFS的规律进而研究如何根据在参数空间M集参数位置与动力平面上充满Julia集的动力学特性以及图形结构之间的对应关系构造出分形的有效IFS的方法。主要的研究工作及创新点如下:（1）研究复余弦映射族f（z）=λ cosn（z）的广义M集、充满Julia集与其非线性迭代函数系的构造关系。分析复余弦映射的数学特性;在动力平面上的中心周期窗口,考察指定参数下的迭代映射极值点的轨道是否有界。（2）在M集的高周期芽苞内随机挑选参数,构造出IFS,并在IFS中的所有迭代映射的公共吸引域内构造出分形。（3）根据复映射族f（z）=λcosn（z）在参数平面上的广义M集的D2几何对称特点构造出既具有旋转对称性又具有反射对称性的IFS,生成了具有D2对称的分形。（4）在不同指数n的条件下,实现了在f（z）=λcosn（z）M集的1周期参数区域挑选参数构造迭代函数系,并构造出了相应的分形。（5）为了解决由于参数不同,使得迭代映射的收敛特性不同,导致等概率随机迭代函数系得到的分形图像不清晰的问题,本文提出了两种解决方法:一种是通过求迭代映射的充满Julia集内集合的压缩比,进而求出IFS中挑选迭代映射的迭代概率的方法,从而解决了一周期芽苞选参数构造分形图不清晰的问题;另一种是通过计算周期轨道吸引率的分析方法,进而求出IFS中挑选迭代映射的迭代概率,使得在1周期芽苞和高周期芽苞中挑选参数构造IFS的分形图形更加清晰。（6）建立了复余弦映射族f（z）=λcosn（z）的M集、充满Julia集、IFS的分形图库。

关键词：分形复映射迭代函数系 M集充满Julia集

具有若干参数的分形插值迭代函数系的构造及其扰动误差分析

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具有若干参数的分形插值迭代函数系的构造及其扰动误差分析

作者：周坤南京财经大学

学位级别：硕士

基于迭代函数系(Iterated Function System,IFS)的理论,Barnsley于1986年提出了分形插值函数(Fractal Interpolation Function,FIF)的概念以及构造方法.传统的插值方法产生的插值函数通常是光滑的或逐段光滑的,它们在拟合非光滑、不规... 详细信息

基于迭代函数系(Iterated Function System,IFS)的理论,Barnsley于1986年提出了分形插值函数(Fractal Interpolation Function,FIF)的概念以及构造方法.传统的插值方法产生的插值函数通常是光滑的或逐段光滑的,它们在拟合非光滑、不规则的现象和事物时显得乏力.而分形插值函数是不规则的,且具有很强的灵活性,因而成为刻画具有自相似性的事物和现象的有力工具.这些事物和现象在自然界中是广泛存在的.如今,分形插值的理论和方法已经渗透到经济、金融、计算机科学等众多领域.本文基于已有的分形插值理论的相关研究成果,构造了一类由若干个参数的抽象函数构成的IFS,讨论了这类IFS的吸引子的存在性,给出了具体的算例,绘制出对应的图形.随后讨论了在IFS和给定的数据集分别发生微小扰动的情况下,FIF的变化情况,并给出了扰动误差估计式.本文构造的IFS较文献中已有的IFS更具一般性和灵活性,给出的扰动误差估计式涵盖了众多类型的FIF的扰动误差形式.本文内容安排如下:第一章,简要介绍了分形插值理论与方法的产生背景,对已有的相关研究成果进行了介绍,阐述了本文的主要工作以及研究意义.第二章,介绍了分形插值理论与方法的相关概念以及基本定理,它们是本文研究的理论基础.第三章,用含有三个参数的抽象函数构造一元IFS,给出两个具体的算例,绘制出对应的FIF的图像.随后,讨论了当IFS中的自由参数以及数据集的坐标发生微小扰动时,FIF在扰动前后的变化情况,给出了扰动误差估计式.第四章,将第三章中构造一元IFS的方法推广到二元IFS的情形,用含有五个参数的抽象函数构造二元IFS,证明了这类IFS的吸引子的存在性和唯一性,且该吸引子恰好是经过给定插值点的连续函数的图像,给出一个具体的算例,并画出分形插值曲面的图像.随后,研究了当IFS中的自由参数以及数据集中的竖坐标发生扰动时,FIF的变化情况,给出了具体的扰动误差估计式.第五章,对本文的研究进行总结并对未来的研究工作进行了展望.

关键词：迭代函数系分形插值函数吸引子扰动误差

具有(n-1)个极值点的复多项式映射构造非线性迭代函数系的研究

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具有(n-1)个极值点的复多项式映射构造非线性迭代函数系的研究

作者：关博文沈阳建筑大学

学位级别：硕士

动力系统图形化的研究始于20世纪初期,随着计算机软硬件设备的逐步开发与完善,许多学者开始结合计算机研究分形理论,研究人员针对不同的迭代映射提出动力系统图形化的各种方法,并大量生成了各种形式的分形图和混沌吸引子图,这方面的研... 详细信息

动力系统图形化的研究始于20世纪初期,随着计算机软硬件设备的逐步开发与完善,许多学者开始结合计算机研究分形理论,研究人员针对不同的迭代映射提出动力系统图形化的各种方法,并大量生成了各种形式的分形图和混沌吸引子图,这方面的研究形成了非线性科学研究中的一个分支,其应用延伸到各个领域,包括计算机学科领域。在非线性动力系统的图形化研究中,用线性仿射压缩迭代函数系(IFS)构造分形是一个重要的研究内容。随着IFS的越来越广泛的应用,对线性迭代函数系所生成的分形的研究进入到了对非线性迭代函数系的相关研究。本文将传统线性迭代函数系的构造方法与动力系统图形化研究中生成的广义M集和充满Julia集的方法相结合,通过在M集选取两个或两个以上的迭代映射组成非线性迭代函数系来构造分形。本文具体研究了 1个具有多极值点的单参多项式复映射族/(z)=zn+cz在参数平面M集中周期芽苞内如何选取参数构造有效IFS生成分形以及在高周期参数构造IFS及其分形。本文的主要研究工作及创新点如下:(1)对比研究了复映射族f(z)=zn+cz与复映射族f(z)=zn+c的M集、充满Julia集的几何特点及构造IFS生成分形的各自特点。(2)研究复映射族f(z)=zn+cz在M集中参数|c|迭代函数系的原因。(3)研究f(z)=zn+cz在M集的参数|c|>1的1周期芽苞参数区域如何构造出有效的非线性迭代函数系;提出双随机迭代算法,在动力平面上大量生成(n-1)旋转对称分形。(4)研究在M集中1芽苞和(n-1)芽苞参数区域选取参数不能构造有效迭代函数系IFS的原因。(5)研究符合Zn-1旋转对称的芽苞区域构造分形的规律。(6)对于M集中高周期芽苞的旋转对称参数构造IFS,当所选参数均构造出具有1条高周期轨道的迭代映射,这样构造出的IFS可采用传统的随机迭代方法构造分形;当所选参数均构造出具有多条高周期轨道的迭代映射,相应的迭代函数系需采用本文提出的双随机迭代方法构造分形。(7)建立基于复映射族f(z)=,+cz的参数|c|>1的非线性迭代函数系的奇怪吸引子图库。

关键词：分形迭代函数系多极值点复映射 M集充满Julia集奇怪吸引子

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广义K迭代函数系及其吸引子

中国科学技术大学学报 2013年第9期43卷 694-698页

作者：王宏勇杨帆南京财经大学应用数学学院江苏南京210023

迭代函数系(iterated function system,IFS)是产生分形的一种非常有用的方法.一个IFS通常是由完备度量空间上的一组压缩映射构成,它的吸引子一般是分形.在经典的Kannan映射和广义K映射的基础上,引入了一类广义K迭代函数系(K-IFS).证明... 详细信息

迭代函数系(iterated function system,IFS)是产生分形的一种非常有用的方法.一个IFS通常是由完备度量空间上的一组压缩映射构成,它的吸引子一般是分形.在经典的Kannan映射和广义K映射的基础上,引入了一类广义K迭代函数系(K-IFS).证明了这类广义K-IFS存在唯一的吸引子,给出了广义K-IFS的吸引子的拼贴定理,构造了一个用广义K-IFS的吸引子逼近给定紧集的例子.

关键词：迭代函数系广义K迭代函数系吸引子分形

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分形插值迭代函数系的构造及性质

分形插值迭代函数系的构造及性质

作者：王丽丽南京财经大学

学位级别：硕士

基于迭代函数系（Iterated Function System, IFS）的理论,1986年Barnsley提出了分形插值函数（Fraction Interpolation Function, FIF）的概念.与传统的插值方法相比,分形插值在拟合非光滑、非规则的现象和事物中显示出独特的优越性,... 详细信息

基于迭代函数系（Iterated Function System, IFS）的理论,1986年Barnsley提出了分形插值函数（Fraction Interpolation Function, FIF）的概念.与传统的插值方法相比,分形插值在拟合非光滑、非规则的现象和事物中显示出独特的优越性,并成为模拟与刻画具有某种自相似性的事物和形态的有力工具,而这些事物和形态在自然界中是普遍存在的.现如今,分形插值理论与方法的应用范围已经涉及众多的领域.本文在分形插值基本理论与方法的基础上构造一系列具有较大灵活性的分形插值IFS,它们不仅涵盖了已有的由一次或二次多项式函数所构成的分形插值IFS,而且具有更一般的形式,即它们是由Lipschitz函数所构成,该类IFS将任意n次多项式函数构成的IFS作为其特例.本文具体研究内容安排如下：第一章,简要介绍了分形及分形插值的背景,给出了相关文献的综述.第二章,在R2上构造了一类分形插值迭代函数系,证明了此类IFS的吸引子就是经过给定插值节点的分形插值曲线,研究了这类FIF关于自由参数的连续依赖性,讨论了此类IFS发生扰动时相应FIF的变化规律,并计算出了扰动误差估计式.第三章,研究了所构造的FIF的光滑性与稳定性,给出了这类FIF的光滑性结论,并讨论了它们在一般插值条件下（不要求等距）的稳定性问题.第四章,将R2上构造分形插值迭代函数系的方法推广到R3上,构造了一类二元分形插值IFS,证明了此类IFS的吸引子就是通过给定插值节点的分形插值曲面,研究了此类分形插值曲面关于自由参数的连续依赖性,导出了由扰动后IFS和扰动前IFS所生成的FIFs之间的具体误差表达式、误差估计式和矩量误差估计式,最后研究了s -FIF与原二元函数在两种范数意义下的误差问题.第五章,在R3上构造了一类具有函数纵向尺度因子的分形插值IFS,证明了这类IFS存在唯一的吸引子,且吸引子就是经过给定插值节点的一类分形插值曲面.研究了这类FIF的扰动误差问题,给出了由扰动IFS和原始IFS所产生FIF之间的误差估计式.最后讨论了这类FIF关于函数以及函数纵向尺度因子的敏感性问题.第六章,对本文进行总结并加以展望.

关键词：迭代函数系分形插值函数误差分析光滑性稳定性敏感性

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代数图递归迭代函数系与开集条件（英文）

应用数学 2014年第2期27卷 457-461页

作者：杨亚敏华中农业大学理学院湖北武汉430070

本文研究R上一类代数图递归迭代函数系的开集条件与代数参数β之间的关系.我们证明若图递归迭代函数系满足开集条件且递归图是几何型的,则βs必是一个代数整数,其中s为图递归迭代函数系不变集的最大的Hausdorff维数.

关键词：迭代函数系开集条件代数整数 Hausdorff维数

由复解析映射f(z)=zn+c构造的非线性IFS迭代函数系的研究

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由复解析映射f(z)=zn+c构造的非线性IFS迭代函数系的研究

作者：冯冬冬沈阳建筑大学

学位级别：硕士

自从上世纪七十年代,分形被明确提出以来,分形的研究以及实际应用迅速发展,目前人们已经对分形比较熟悉。分形的研究需要与计算机图形学的方法相互结合,分形能够如此迅速的发展而被广泛的认识和接受,也正是因为有计算机图形学的帮助,所... 详细信息

自从上世纪七十年代,分形被明确提出以来,分形的研究以及实际应用迅速发展,目前人们已经对分形比较熟悉。分形的研究需要与计算机图形学的方法相互结合,分形能够如此迅速的发展而被广泛的认识和接受,也正是因为有计算机图形学的帮助,所以才能有如此大量精美的分形图形。利用计算机图形学的方法研究分形,能够促进认识以及理解分形,能够将分形的应用范围拓展得更宽。因为分形图形在形状方面的复杂性,也需要灵活应用以及将分形的绘图方法改善。目前计算机绘制分形的主要方法是从这两个方向展开的:1.动力系统的图形化;2.使用IFS迭代函数系的方法进行构图。国内外关于对称混沌分形的研究一直以来大多也是从这两个方向出发,构造二维平面或三维空间的对称动力系统或对称IFS迭代函数系来实现作图的。目前迭代函数系作为分形计算机图形化的重要方法仍然是基于传统的线性压缩仿射变换的研究。混沌动力学和分形几何学是非线性科学的重要组成部分,也是当前科学研究的前沿。在平面动力系统的计算机可视化研究中,许多学者对各种复解析映射的图形化研究产生了兴趣,并且取得了很多的研究成果。分形在计算机图形化方面的技术仍然有许多问题没有解决。本文试图在IFS迭代函数系的构造方面有所突破和创新,提出新的分形绘制方法。本文通过对复解析多项式映射的研究,提出构造非线性迭代函数系的方法。主要的创新和研究工作如下:(1)研究了复解析映射f(z)= z2+c的迭代性质和规律,包括其迭代轨道、吸引域和不动点,与传统的线性压缩仿射变换做了对比。(2)研究了用复映射族f(z)= z2+c1,构造非线性迭代函数系的条件,并给出了其作为非线性迭代函数系的性质。(3)研究了用f(Z)= Z2 + c所构造的非线性迭代函数系的作用范围,迭代初始点的选取,以及非线性迭代函数系的随机迭代轨道。(4)提出该非线性迭代函数系选择参数的方法。提出构造2次多项式复映射在参数平面上的1周期参数集合;然后在该集合上随机挑选2个以上的参数,由这些参数建立一组迭代映射,用这组迭代映射构造出一个由单参的2次复解析压缩映射构造的非线性压缩IFS迭代函数系;最后对迭代函数系中的一个迭代映射在平面上的压缩不动点连续迭代,构造出相应的奇怪吸引子或分形。构造出了平面上的奇怪吸引子或分形,图形结构新颖。(5)研究利用单参复解析n次多项式映射构造非线性迭代函数系。提出在n次多项式映射参数平面上的一周期基本对称区域内的参数集合内选择参数构造非线性迭代函数系。本文构造的非线性迭代函数系,不仅可以大量构造Dn对称的分形,也可以构造Zn对称的分形。(6)研究了非线性迭代函数系所构造的不动点和奇怪吸引子的关系。研究了奇怪吸引子的范围以及迭代函数系中迭代映射的变换对吸引子的影响。(7)本文构造了大量结构新颖的的奇怪吸引子图形,新建了奇怪吸引子的图库。

关键词：分形迭代函数系非线性动力系统 M集充满Julia集奇怪吸引子