由复解析映射f（z）=λcos~n（z）构造的非线性迭代函数系的研究

作     者：海智刚 

作者单位：沈阳建筑大学 

学位级别：硕士

导师姓名：陈宁

授予年度：2019年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 070201[理学-理论物理] 0701[理学-数学] 0702[理学-物理学] 

主      题：分形 复映射 迭代函数系 M集 充满Julia集 

摘      要：非线性科学领域中极其重要的一部分是混沌科学与分形理论,现已得到科学界的广泛重视。混沌分形的思想目前已应用在物理学、生物医学、天文学、社会科学以及计算机科学等领域,推动了各个学科领域的发展。分形理论的研究借助飞速提升的计算机技术不断取得新的研究成果,同时,通过新的构造分形的方法,大量结构新颖、极具艺术价值的分形图形被构造出来。在分形研究中利用IFS(iterated function system)来构造分形是一项重要工作,近年来,随着IFS构造分形技术在各领域广泛应用,构造IFS的方法以及各种IFS本身的数学性质方面的研究成果也不断出现。IFS的构造已从采用线性的压缩仿射映射到采用非线性的压缩映射。本文尝试采用复余弦映射族f(z)=λcosn(z)当n≥1时,探讨其参数平面上的M集周期芽苞的排列规律,以及采用周期参数构造IFS的规律进而研究如何根据在参数空间M集参数位置与动力平面上充满Julia集的动力学特性以及图形结构之间的对应关系构造出分形的有效IFS的方法。主要的研究工作及创新点如下:(1)研究复余弦映射族f(z)=λ cosn(z)的广义M集、充满Julia集与其非线性迭代函数系的构造关系。分析复余弦映射的数学特性;在动力平面上的中心周期窗口,考察指定参数下的迭代映射极值点的轨道是否有界。(2)在M集的高周期芽苞内随机挑选参数,构造出IFS,并在IFS中的所有迭代映射的公共吸引域内构造出分形。(3)根据复映射族f(z)=λcosn(z)在参数平面上的广义M集的D2几何对称特点构造出既具有旋转对称性又具有反射对称性的IFS,生成了具有D2对称的分形。(4)在不同指数n的条件下,实现了在f(z)=λcosn(z)M集的1周期参数区域挑选参数构造迭代函数系,并构造出了相应的分形。(5)为了解决由于参数不同,使得迭代映射的收敛特性不同,导致等概率随机迭代函数系得到的分形图像不清晰的问题,本文提出了两种解决方法:一种是通过求迭代映射的充满Julia集内集合的压缩比,进而求出IFS中挑选迭代映射的迭代概率的方法,从而解决了一周期芽苞选参数构造分形图不清晰的问题;另一种是通过计算周期轨道吸引率的分析方法,进而求出IFS中挑选迭代映射的迭代概率,使得在1周期芽苞和高周期芽苞中挑选参数构造IFS的分形图形更加清晰。(6)建立了复余弦映射族f(z)=λcosn(z)的M集、充满Julia集、IFS的分形图库。