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筛法,是数论中著名的筛选素数的方法。具体的,是筛出某一序列A中与素数乘积函数P(z)互素的元素,其中P(z)是与筛集合B有关的截断函数(可参考[16])。筛法起源可能要追溯到古希腊的Eratosthene,但是由于余项处理、参数选择等问题,这种筛法在应用上有一定的局限性;后来,挪威数学家Brun在1917年到1924年之间发明了组合筛法理论,这种筛法具有很强的应用性,在很多问题上可以得到一些很好的结果;1947年,基于二次型一个优美的优化设计,Selberg发明了Selberg筛法,相对于之前的Brun筛法,它理论上较为简明,技巧上更为灵活,估计上更加精细;目前组合筛法最好的结果是20世纪80年代的Rosser-Iwaniec筛法[18][19],它被认为是筛法的极致,除了在余项处理上更为灵活外,在最好的情形下它可在上界估计主项中渐近的有一个常数因子的改进(可参考[26])。筛法是数论中一个强有力的工具,在许多著名的数论问题中都有应用。比如孪生素数猜想,哥德巴赫猜想,不可约多项式表示成无穷多个素数问题等等。1973年,陈景润[7]在Bombieri [2],Renyi [24],潘承洞[21],王元[27]等人的工作基础上,利用双筛法在哥德巴赫猜想上取得重大进展,即得到了著名的“1+2”陈氏定理：假设x为一个充分大的偶数,p为一个素数,并定义P2为一个最多有两个素因子的整数,那么方程x=p+P2有解。且若令Px(1,2)为上述方程的解,那么有若将上述方程右边的P2改进到一个素数p,即可证明偶数的哥德巴赫猜想。而在孪生素数问题上,若令pn代表第n个素数,并记1940年,Erdos11]用Brun筛法最先证明△筛法最先证明了△=0,且在2010年,他们[15]又证明了下式现在我们又称他们所用的筛法为G-P-Y筛法。2014年,张益唐[30]在孪生素数猜想上取得重大进展,他在Goldston,Pintz和Yildirim勺上述工作基础上,成功证明了在上面所述的两个著名猜想发展改进过程中,筛法都起到了举足轻重的关键作用。而在相邻整数问的最大素因子问题上,筛法也同样有用处。若n,n+1是自然数,记P(n),P(n+1)分别为n,n+1的最大素因子,令人们猜想当x足够大时,E(x)渐进等于x/2,且更一般的,n和n+1的最大素因子是“相互独立事件”。这个猜想看起来比较简单,不过却是一个很难很深刻的问题。著名数学家Tenenbaum[25]曾说过‘’It lies in the same class of problems than the famous abc-conjecture"。这方面最早的结果来自Erdos和Pomerance[13],他们在1978年得到结果：对足够大的x,E(x)≥0.0099x,但是在他们的证明中筛法并未起主要作用。2005年,de la Breteche、Pomerance 和 Tenenbaum[4]利用筛法得到更好的估计文章最后作者说Fouvry后来指出将此筛法改变一下筛的序列可以得到更好的结果,但并未给出具体的证明过程。在本文的第二章中,我们将系统介绍筛法的一些基本概念：筛序列A,筛集合B及筛函数S(A;B,z)。在引进筛函数时,也将同时介绍筛法的本质思想。在第三章中,我们将介绍几类筛法：Eratosthene-Legendre筛法,Brun组合筛法,Selberg筛法以及Rosser-Iwaniec筛法。而在第四章,我们将给出筛法的两个应用。首先,为了熟悉筛法以及筛序列筛函数的选取,我们先给出“1+2”陈氏定理的一个简要证明。其次,在两个相邻整数的最大素因子问题上,我们将给出上面提到的Fouvry所指出的筛法的证明过程,按此筛法可以得到

关键词：筛法筛函数陈氏定理最大素因子

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关于华定理的两个推广

关于华定理的两个推广

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作者：许福霞山东师范大学

学位级别：硕士

素数分布和Diophantine方程是数论研究中的两个基本问题,Diophantine方程的素数解是这两个基本问题的交叉.华罗庚在Diophantine方程的素数解的研究上做出了重要的贡献,建立了许多深刻的定理.本文中,我们主要考虑了在华罗庚的定理上的两... 详细信息

素数分布和Diophantine方程是数论研究中的两个基本问题,Diophantine方程的素数解是这两个基本问题的交叉.华罗庚在Diophantine方程的素数解的研究上做出了重要的贡献,建立了许多深刻的定理.本文中,我们主要考虑了在华罗庚的定理上的两个推广,主要结果如下:首先,我们证明在一定条件下两个素数与一个素数平方的实线性组合的值,即λ1p1+λ2p2+λ3p32可以任意趋近任何实数,这里λ1,λ2,λ3为不全同号的非零实数且λ2/λ3为无理数.其次,对每一个满足N(?)1(mod 3)且充分大的奇整数N,我们证明N能够表示为一个小素数与四个素数平方的和,即N=p+p12+p22+p32+p42且p≤N49/144.本文的结构安排具体如下.第一章,阐述了本文的研究背景,研究现状和主要成果.第二章和第三章,分别介绍了定理1和定理2的证明思路.第四章,给出了定理证明所需的—些预备引理.第五章和第六章,分别完成定理1和定理2的证明.

关键词： Diophantine不等式 Waring-Goldbach问题指数和筛函数

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一类数论函数的计算和估计

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内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） 1992年第S1期21卷 10-17页

作者：包那内蒙古师大数学系

用新方法计算和估计筛函数的余项f(N,P_1,…,P_3)=■μ(n){N/n}这里E_s={n=P_1^(α_1)P_2^(α_2)…Ps^(α_s)|α_i=0或1,i=1,2,…s;ω(n)≥1}.得到一系列较好的结果.

关键词：筛函数余项估计

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用埃氏筛法估计Pi(N)的值的值

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数学学习与研究 2014年第17期 122-127页

作者：张宏马

筛法中余项的估计问题一直是筛法研究的中心问题之一,尤其是用古老的埃氏(Eratostheesn)筛法估计Pi(N)的值时所产生的余项,由于其项数之阶远大于主要项之阶,一直被学者们[1].[2].[3]认为是很难进行估计的.近年来,虽然也有人对埃氏筛法... 详细信息

筛法中余项的估计问题一直是筛法研究的中心问题之一,尤其是用古老的埃氏(Eratostheesn)筛法估计Pi(N)的值时所产生的余项,由于其项数之阶远大于主要项之阶,一直被学者们[1].[2].[3]认为是很难进行估计的.近年来,虽然也有人对埃氏筛法加以改进[4].[5],[6].,但仍末对其余项的估计问题进行研究,该文利用一个初等的变换公式,初步实现了对这种余项上下界的估计,从而开启了对这一问题进行研究的先例.

关键词：素数合数筛函数主项余项的估计

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四探哥德巴赫解集——兼探余新河数学题

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山西师大学报（自然科学版） 1997年第1期11卷 1-9页

作者：剡俊华山西师大数计系

文章给出一个研究哥德巴赫猜想的初等数学方法.

关键词： RH-变换筛函数筛眼哥德巴赫猜想

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