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几类多项式矩阵与其Smith型等价研究

几类多项式矩阵与其Smith型等价研究

作者：桂盈盈湖南科技大学

学位级别：硕士

由于多维系统常用多项式矩阵来描述,所以多项式矩阵的等价问题一般可以化简多维系统的形式结构,从而简化相应的多维系统运算,因此,科研工作者们常借助对多项式矩阵的等价研究去约化和化简对应的多维系统。多项式矩阵与其Smith型等价问... 详细信息

由于多维系统常用多项式矩阵来描述,所以多项式矩阵的等价问题一般可以化简多维系统的形式结构,从而简化相应的多维系统运算,因此,科研工作者们常借助对多项式矩阵的等价研究去约化和化简对应的多维系统。多项式矩阵与其Smith型等价问题是多项式矩阵的等价问题中非常重要的一类,但目前还没有一种普遍适用的方法去判断,一般的多项式矩阵是否与其Smith型等价。本文结合已有结论,讨论了两类特殊的n元(n ≥ 2)多项式矩阵与其Smith型等价的问题。首先,对于一类二元多项式矩阵F(z1,z2)∈Kl×l[z1,z2],其行列式为hr(z1)(其中h(z1)∈K[z1]是不可约的一元多项式)。我们通过将F(z1,z2)上的二元多项式看作关于未知元z2的多项式,即把含有未知元z1的项看作系数,利用其系数环上的欧几里得除法性质,证明了当F(z1,z2)满足h(z1)|dl-r+1(F)时,F(z1,z2)总与其 Smith 型(Il-r h(z1)·Ir)等价。然后将结果进行推广,证明了det(F)=hq·r(z1)且hq(z1)|dl-r+1(F)的多项式矩阵F(z1,z2)与Smith型(Il-r hq((z1)·Ir))等价的充分必要条件是该矩阵的所-有(l-r)×(l-r)级子式在K2上没有共同零点。其次,研究一类n元(n≥3)多项式矩阵F(z)∈Kl×l[z]等价问题,当其行列式为(z1-f1(z2,…,zn)r(z2-f2(z3,…,zn))r=hr(z),且h(z)|dl-r+1(F(z)),证明了该类多项式矩阵F(z)与其Smith型(Il-r h(z)·Ir))等价的充分必要条件是该矩阵的所有l-r级子式在Kn中没有共同零点。采用递归法,将结果推广到F(z)det(F)=hq(z)且h(z)|dl-r+1(F(z))与其Smith型(Il-r hq/r(z)·Ir))等价的情形,这里q/r是非负整数。文中给出的条件,可以使对应的多维系统的运算得到简便。与以前的方法相比,本文中给出的这些条件的检验是比较容易实现的,可以通过计算相应多项式理想的既约Gr(?)bner基来判别,文中也给出了相应的具体的等价实例进行说明。

关键词：系统等价多项式矩阵矩阵等价 Smith型

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矩阵等价与向量组等价的关系及应用

科技资讯 2016年第1期14卷 121-121,123页

作者：赵伟舟火箭军工程大学理学院数学与军事运筹教研室陕西西安710025

该文主要讨论了矩阵等价和向量组等价之间的联系,在包含相同个数向量的前提下,获得了借助初等行变换研究向量组等价的重要结论,并通过实例具体说明了应用方法。

关键词：矩阵等价向量组等价初等行变换

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二元多项式矩阵Smith型等价问题

武汉大学学报（理学版） 2020年第3期66卷 224-232页

作者：李冬梅梁芮湖南科技大学数学与计算科学学院湖南湘潭411201

二维系统等价是多维系统研究中的重要问题,它常被转化为二元多项式矩阵的等价问题来研究。二元多项式矩阵与其Smith型等价是矩阵等价研究中的重要问题。本文主要研究几类二元多项式矩阵与其Smith型等价问题,给出二元多项式矩阵约化到其S... 详细信息

二维系统等价是多维系统研究中的重要问题,它常被转化为二元多项式矩阵的等价问题来研究。二元多项式矩阵与其Smith型等价是矩阵等价研究中的重要问题。本文主要研究几类二元多项式矩阵与其Smith型等价问题,给出二元多项式矩阵约化到其Smith型的一些结果和判别条件。这些条件可以通过计算矩阵既约子式的约化Gröbner基进行检验。

关键词：二维系统二元多项式矩阵矩阵等价 Smith型

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整环上保持矩阵等价的映射

大学数学 2019年第1期35卷 107-111页

作者：林瑞雨赵显贵惠州学院数学与大数据学院

矩阵论是代数学的重要分支,而矩阵保持问题是矩阵论中的重要问题.交换环上的矩阵保持问题,主要研究保持交换环上矩阵的某种性质或关系的映射.在整环上的矩阵空间里,给出了映射保持矩阵等价的一个充分必要条件.

关键词：矩阵等价保持问题交换环上的矩阵

二元多项式矩阵及其Smith型等价问题研究

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二元多项式矩阵及其Smith型等价问题研究

作者：梁芮湖南科技大学

学位级别：硕士

二元多项式矩阵的等价研究可简化许多工程计算,并应用于电路和物理系统等诸多领域。其中,二元多项式矩阵的Smith型因其形式简单,而在过去几十年的研究中占重要地位。但是,至今没有学者能够提出一个容易判别的条件及构造性的方法,来解决... 详细信息

二元多项式矩阵的等价研究可简化许多工程计算,并应用于电路和物理系统等诸多领域。其中,二元多项式矩阵的Smith型因其形式简单,而在过去几十年的研究中占重要地位。但是,至今没有学者能够提出一个容易判别的条件及构造性的方法,来解决一般二元多项式矩阵与其Smith型等价的问题。本文将结合二元多项式环的性质以及已有的研究成果,研究一些新的特殊二元多项式矩阵与其Smith型等价的问题。首先,我们讨论了两类二元多项式矩阵与其Smith型等价的问题。一类是行列式为p(z)的二元多项式矩阵,其中p(z)不可约。我们将在环(?)[z,w]上的矩阵元素看成是在环(?)[z][w]上的元素,基于环(?)[z][w]上的除法性质以及剩余类理论,证明行列式为不可约多项式p(z)的二元多项式矩阵总是与其Smith型等价。其后,我们将结果推广到行列式为p(z)的二元多项式矩阵,得到行列式为p (z)的二元多项式矩阵与其Smith型等价的充分必要条件是det F(z,w)与其所有(l-1)×(l-1)级子式没有公共零点。另外一类是行列式为(z-f(w))(w-a)的二元多项式矩阵,其中a是一个非零常数。我们得到此类矩阵与其Smith型等价的充分必要条件也是det F(z,w)与其所有(l-1)×(l-1)级子式没有公共零点。最后,利用ZLP矩阵性质和Quillen-Suslin定理,将以上结论推广到行列式为(z-f(w))(w-a)的二元多项式矩阵的情形。以上内容均给出了具体例子来说明。应用以上结果可以将二元系统矩阵约化到形式和结构更简单的矩阵,从而简化对应的线性系统。本文解决了一些特殊的二元多项式矩阵与其Smith型等价的问题,方法全是构造性的,能够找到幺模变换中的矩阵,在实际应用中非常有意义,同时也为进一步解决一般二元多项式矩阵与其Smith型等价提供了新的思路和参考。

关键词：二维系统二元多项式矩阵矩阵等价 Smith型

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局部环上矩阵等价或相似的判定及应用

局部环上矩阵等价或相似的判定及应用

作者：孙天博哈尔滨工业大学

学位级别：硕士

矩阵相似或等价是矩阵理论中的重要内容,在系统和控制等领域有着广泛的应用.因此,本文主要针对矩阵的相似或等价理论及其应用进行研究. 本文首先介绍了域上和交换局部环上的广义线性系统理论, Galois环p k上幂等矩阵的标准形和s次... 详细信息

矩阵相似或等价是矩阵理论中的重要内容,在系统和控制等领域有着广泛的应用.因此,本文主要针对矩阵的相似或等价理论及其应用进行研究. 本文首先介绍了域上和交换局部环上的广义线性系统理论, Galois环p k上幂等矩阵的标准形和s次幂等矩阵的伪标准形,然后介绍了含幺交换环上矩阵相似和等价的相关概念以及近年来的主要研究结论.由此可知矩阵相似实质上是局部性质,而判别局部环R上的两个矩阵是否相似的关键在于矩阵的Wasow数. 众所周知,主理想整环上的矩阵一定等价于对角矩阵,并且其对角线上的元素可以写作有限个不可约元的幂次的乘积,因此本文对局部Noether主理想整环进行研究,给出了该环上矩阵Wasow数的求法.该结论表明,矩阵的Wasow数仅仅依赖于这些不可约元的幂次. Guralnick对于局部Noether主理想整环上矩阵的Wasow数曾给出两种定义,作为上述结果的应用,我们证明了这两种定义等价.然后我们讨论了局部环上矩阵的相似或等价理论在系统控制领域中的几个重要应用,其中包括局部环上正则矩阵对的性质,局部环上正则矩阵对的多种判定方法以及局部主理想整环上广义线性系统的标准形问题.

关键词：局部环矩阵相似矩阵等价广义线性系统

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矩阵的三种等价关系及其分类

武夷学院学报 2018年第3期37卷 7-9页

作者：黄述亮滁州学院数学与金融学院安徽滁州239000

讨论了矩阵等价、矩阵相似和矩阵合同三种等价关系,并由此确定了矩阵在这些等价关系下的分类。此外,举例说明了三者的区别和联系及其在证明相关问题中的应用。

关键词：等价关系矩阵等价矩阵相似矩阵合同