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退化拟周期系统是天体力学中很常见的一种模型.我们在本文中对具有退化平衡点的拟周期非线性系统的小扰动的研究方法进行了总结.并举例说明这些方法是如何应用的.还给出了一个关于椭圆型四维退化拟周期系统的小扰动的最新结论.在本文的第一章中,我们给出了动力系统理论中的一些基本定义.介绍了关于拟周期系统在平衡点附近的小扰动问题的研究背景与进展.并且针对具有退化平衡点的拟周期扰动问题,我们总结出三个方法.在第二章中我们以三篇文献中的退化拟周期系统为例,分别阐述了Herman方法,多项式实根的稳定性分析方法以及向量场平均的零点平移法三种方法在处理具有退化平衡点的拟周期系统的小扰动问题中的运用.第一篇文章讨论了一维拟周期系统在小扰动下平衡点的稳定性,我们给出了它的证明思路,介绍了Herman方法在处理此类问题时的运用;第二篇文章研究的是一个平面拟周期系统的小扰动问题,通过介绍它的证明梗概可以看出关于多项式实根的稳定性分析在处理小除数问题和控制平衡点的变化时都起到了至关重要的作用;第三篇文章考虑的是一个映射,我们通过介绍这篇文章来分析向量场平均的零点平移法的应用.此外,我们还给出了一个关于椭圆型退化拟周期系统的小扰动的最新结论.第三章为研究展望,提出了几个有待解决的问题.

关键词：拟周期系统 KAM方法小除数问题退化平衡点

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具有反对称结构的三维线性拟周期系统的可约化性

具有反对称结构的三维线性拟周期系统的可约化性

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作者：王玉欢东南大学

学位级别：硕士

本文主要研究一类具有反对称结构的三维线性实解析拟周期系统在小扰动下的可约化性。即考虑系统其中A,Q都是反对称矩阵,并且A是常值矩阵,Q是带有小参数ε的解析拟周期矩阵。本文主要利用KAM迭代的方法证明了：当上述系统的拟周期频率和... 详细信息

本文主要研究一类具有反对称结构的三维线性实解析拟周期系统在小扰动下的可约化性。即考虑系统其中A,Q都是反对称矩阵,并且A是常值矩阵,Q是带有小参数ε的解析拟周期矩阵。本文主要利用KAM迭代的方法证明了：当上述系统的拟周期频率和常值矩阵A的特征值满足一定的非共振条件时,在无需任何非退化条件的假设下,对大多数的小扰动参数ε,系统可以约化为常系统。

关键词：拟周期系统反对称约化 KAM迭代非共振条件

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拟周期系统的 Floquet 理论

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数学学报 1977年第4期 285-286页

作者：林振声福州大学

一个问题:是否（1）为可约系.也就是说（1）是否可以通过线性拟周期变换,把它化为常系数的线性微分方程系.在这篇文章里,证明在某条件下,Arnold 问题的答案是肯定的.为了建立（1）为可约系,出现了小除数的问题,因此,在本文中假定（1）... 详细信息

一个问题:是否（1）为可约系.也就是说（1）是否可以通过线性拟周期变换,把它化为常系数的线性微分方程系.在这篇文章里,证明在某条件下,Arnold 问题的答案是肯定的.为了建立（1）为可约系,出现了小除数的问题,因此,在本文中假定（1）的频率ω1,ω2,…,ωm 满足了不等式

关键词：拟周期函数引理线性微分方程常系数定理不等式拟周期系统 Floquet

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共振情形下拟周期Hamiltonian系统的线性化

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数学进展 2012年第5期41卷 605-614页

作者：吴云超内蒙古农业大学理学院内蒙古呼和浩特210093

受Rsmann的工作的启发,本文考虑实解析拟周期Hamiltonian系统{■=i(ρz+(f)/(z)(z,■,θ))■=ω,其中P≥0,z∈C,θ∈T^d且f=O_3(|z|).假设ω是Diophantine向量,且P与ω共振.本文证明如果系统是形式可线性化的,则它也是解析可线性... 详细信息

受Rsmann的工作的启发,本文考虑实解析拟周期Hamiltonian系统{■=i(ρz+(f)/(z)(z,■,θ))■=ω,其中P≥0,z∈C,θ∈T^d且f=O_3(|z|).假设ω是Diophantine向量,且P与ω共振.本文证明如果系统是形式可线性化的,则它也是解析可线性化的.从而该系统的不动点是Lyapunov稳定的.

关键词： Lyapunov稳定性拟周期系统 Hamiltonian系统

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非线性拟周期方程的Floquet理论

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中国科学（A辑） 2005年第10期35卷 1120-1131页

作者：吴昊李伟固北京大学数学科学学院北京100871

主要研究由如下的微分方程所组成的自治系统: x=Ax+f(x,θ),θ=ω,其中θ∈R^m,ω=(ω_1,…,ω_m)∈R^m,x∈R^n,A∈R^(n×n)是一个双曲的常矩阵,f是一个关于两个变元都是C~∞的函数,并且关于变元θ的各个分量都是2π周期的,还满足当x→0... 详细信息

主要研究由如下的微分方程所组成的自治系统: x=Ax+f(x,θ),θ=ω,其中θ∈R^m,ω=(ω_1,…,ω_m)∈R^m,x∈R^n,A∈R^(n×n)是一个双曲的常矩阵,f是一个关于两个变元都是C~∞的函数,并且关于变元θ的各个分量都是2π周期的,还满足当x→0时,f=O(‖x‖~2).通过研究原系统的正规形,证明了在适当条件下原系统可以变为自治系统x=Ax+g(x),θ=ω.另外,证明过程自然蕴含了Chen定理在拟周期情形下的推广.

关键词：拟周期系统正规形 Floquet理论周期方程非线性自治系统证明过程微分方程 R^n 拟周期

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非扰的Eliasson约化结果

非扰的Eliasson约化结果

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作者：李祥南京大学

学位级别：硕士

论文从Eliasson约化定理出发,主要研究了拟周期线性系统非扰动的约化结果。经典的Eliasson约化定理保证了拟周期系统的全测可约性,但这是扰动意义下的结果。本文受此启发,对离散和连续情形下的约化结果分别进行了总结推广。文章主要分... 详细信息

论文从Eliasson约化定理出发,主要研究了拟周期线性系统非扰动的约化结果。经典的Eliasson约化定理保证了拟周期系统的全测可约性,但这是扰动意义下的结果。本文受此启发,对离散和连续情形下的约化结果分别进行了总结推广。文章主要分为四个部分,首先介绍了约化研究的历史背景以及相关的基础知识,引入了积分态密度和旋转数等重要概念。针对离散系统,文章主要参考了Puig的方法,利用Aubry对偶,将Schrodinger算子与其对偶算子联系起来,然后利用对偶算子的Anderson局域化来得到原系统的Bloch wave,从而来证明原系统的非扰可约性。针对连续情形,文章主要利用了几乎可约的方法,结合Eliasson的经典结果,给出了更一般系统的非扰约化结果。最后文章进行了总结与展望,介绍了一些更一般化的约化推广结果。

关键词：约化拟周期系统非扰动约化结果 Aubry对偶 Schrodinger算子几乎可约

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