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解非线性方程组的同伦方法

解非线性方程组的同伦方法

作者：曾敏南京邮电大学

学位级别：硕士

非线性方程组系统来源于实际应用,如信息科学、工程技术、自动化和科学计算等。非线性方程组系统大都存在多个不同于全局极小点的局部极小点,但经典的求解线性规划问题的算法并不能成功地求解非线性方程组系统。虽然现阶段有不少关于求... 详细信息

非线性方程组系统来源于实际应用,如信息科学、工程技术、自动化和科学计算等。非线性方程组系统大都存在多个不同于全局极小点的局部极小点,但经典的求解线性规划问题的算法并不能成功地求解非线性方程组系统。虽然现阶段有不少关于求解非线性方程组系统全局极小点的研究,其中包括:填充函数法,遗传算法等,但这些方法或者难以实现,或者需要较强的约束条件才能得到全局极小点。为了克服这些困难,本文主要采用同伦方法求解非线性方程组系统。本文主要从以下三个方面进行研究:(1)本文提出了一种求解无约束非线性方程组问题的同伦方法。该方法的全局收敛性是在一定的温和非单调条件下,对R中几乎所有的初始点都得到的。通过与填充函数法的比较,我们发现它是求解无约束非线性方程组的一种简单有效的方法。(2)本文提出了一种同伦算法来求解带箱式约束的非线性方程组。将非线性方程组转化为等价的全局优化问题,并用同伦法求解。对于R中所有初始点,同伦方法的全局收敛性在不需要对映射F作任何额外假设的情况下就能得到。数值结果表明,同伦方法比填充函数方法具有更高的计算效率。(3)本文提出了一种求解非线性等式和不等式系统的同伦方法。基于KKT系统的等价优化问题,构造了同伦方程。在适当的假设条件下,给出了一种全局收敛的同伦方法。数值结果表明,对于非线性等式和不等式系统,所提出的同伦方法比填充函数方法具有更高的计算效率。

关键词：无约束非线性方程组系统箱式约束非线性方程组系统非线性等式和不等式系统同伦方法

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求解半无限变分不等式问题的非内点同伦方法

求解半无限变分不等式问题的非内点同伦方法

作者：俞长绘南京邮电大学

学位级别：硕士

半无限变分不等式问题来源于实际应用,如工程技术、运输、经济、通信等领域。它继承了半无限规划和有限变分不等式的某些性质。目前有不少求解半无限变分不等式问题的方法,包括外近似法、离散化平滑法、交换法、熵解析中心切平面法、外... 详细信息

半无限变分不等式问题来源于实际应用,如工程技术、运输、经济、通信等领域。它继承了半无限规划和有限变分不等式的某些性质。目前有不少求解半无限变分不等式问题的方法,包括外近似法、离散化平滑法、交换法、熵解析中心切平面法、外部近似方法与正则化方法相结合的算法、内点同伦方法等。但是,这些方法计算复杂且收敛时要有较强的假设条件才可以。一方面,有的方法不能求解非线性问题,只能求解线性问题;另一方面,有的方法在选取初始点时,限制其在可行域内,从而导致求解效率降低。为了克服这些困难,本文采用动边界组合同伦方法求解半无限变分不等式问题。本文主要从以下三个方面进行研究:(1)本文关于约束函数g(x,t)的变量t是一维的半无限变分不等式问题提出非内点同伦方法。依据KKT条件,本文首先构造相应的同伦方程,然后在适当的假设条件下证明同伦路径的存在性和全局收敛性,最后通过例子比较内点同伦法与非内点同伦方法的数值结果,验证非内点同伦方法的有效性和可行性。(2)本文关于约束函数g(x,t)的变量t是一维的以及由多个不等式约束函数g(x)构成的半无限变分不等式问题提出非内点同伦方法。依据其KKT条件,将其转化为相应的等价问题。本文首先构造相应的同伦方程,然后在适当的假设条件下证明同伦路径的存在性和全局收敛性,最后比较内点同伦法与非内点同伦方法给出的算例的数值结果,验证非内点同伦方法的高效性和可行性。(3)本文关于约束函数g(x,t)的变量t是多维的半无限变分不等式问题提出非内点同伦方法。依据KKT条件,可以将该类问题等价于求解凸多目标规划问题。首先构造出相应的同伦方程,然后依据理论证明以及数值实验结果,最后证明非内点同伦方法的可行性和有效性。因此非内点同伦方法不再将初始点的选择范围约束在可行域内,从而扩大初始点的选择范围,提高求解半无限变分不等式问题的运行效率。

关键词：半无限变分不等式问题同伦方法非内点法全局收敛性

解非线性规划的积极集策略及积极集光滑约束同伦方法

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解非线性规划的积极集策略及积极集光滑约束同伦方法

作者：梁文娜山西师范大学

学位级别：硕士

针对一般非线性规划问题,本文给出了一种积极集探测策略.该积极集探测策略能够在稳定点的邻域内通过求解线性规划问题,得到稳定点处满足一定条件的积极指标集的子集,称为线性独立积极指标集,利用该线性独立积极指标集,可以建立稳定点处... 详细信息

针对一般非线性规划问题,本文给出了一种积极集探测策略.该积极集探测策略能够在稳定点的邻域内通过求解线性规划问题,得到稳定点处满足一定条件的积极指标集的子集,称为线性独立积极指标集,利用该线性独立积极指标集,可以建立稳定点处一阶最优性条件的等价光滑方程组.在一定条件下,该等价光滑方程组的雅可比矩阵非奇异,可使用牛顿法对其进行求解.由于该积极集探测策略仅与部分有效约束有关,因此能够降低等价方程组的维数,提高算法的计算效率.此外,对于不满足线性独立约束规范及MF约束规范的非线性规划问题,该算法仍然可以有效求解.针对CUTEST测试库中以HS命名的小规模优化问题,数值实验利用参数线性规划的思想,对这些问题测试了本文所给的积极集探测策略的最大扰动半径及其与扰动参数之间的关系,一定程度上说明了该积极集探测策略的有效性.为了较好的求解一般非线性规划问题,本文给出了一种积极集光滑约束同伦方法.在该同伦方法中,首先将原问题等价转化为仅含不等式约束的非线性规划问题,为了使得该非线性规划问题的可行域内部非空,因此对所有不等式约束引入了扰动参数,然后利用积极集光滑化约束函数逼近所有不等式约束函数的最大值函数,将问题转化为带扰动参数及光滑化参数的仅含一个光滑化约束的数学规划问题,最后基于该问题及已有的同伦方法构造了同伦映射.理论上,若原问题满足MF约束规范、初始扰动可行域有界且满足法锥条件,可以证明以该可行域内部几乎所有的点为初始点,同伦方程的零点集定义了一条光滑曲线,且当同伦参数趋于零时,该光滑化曲线的极限点为原问题的稳定点.但是当光滑化参数较小时,同伦算法容易产生病态问题,针对该病态问题,当同伦参数下降到一定程度时,将同伦参数及原问题不等式约束函数对应的扰动参数设计为零,光滑化参数及原问题等式约束函数对应的扰动参数固定,构造新的等价光滑方程组,基于同伦算法产生的近似稳定点,使用牛顿法对该方程组迭代,从而提高近似稳定点的精度.在该近似稳定点处,引入第二章的积极集探测策略继续求解,得到高精度的稳定点,从而构造了一种求解一般非线性规划的三阶段算法.针对CUTEST测试库中以HS命名的小规模优化问题及少量高维问题,测试了该三阶段算法的迭代次数,一定程度上说明了该三阶段算法的有效性.

关键词：一般非线性规划光滑化最大值函数积极集策略同伦方法病态问题

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双相介质二参数反演的同伦方法

工程力学 2003年第4期20卷 110-115页

作者：韩华章梓茂魏培君北京市勘察设计研究院北方交通大学土建学院北京100044 北方交通大学土建学院北京大学力学系

研究了同伦方法在双相介质参数反演中的应用。从材料响应的理论合成应与实际测量数据相拟合这一出发点,将参数反演问题转化为非线性算子方程的零点求解问题,然后应用一种大范围收敛的同伦方法求出非线性算子等于零的根作为反问题的解。... 详细信息

研究了同伦方法在双相介质参数反演中的应用。从材料响应的理论合成应与实际测量数据相拟合这一出发点,将参数反演问题转化为非线性算子方程的零点求解问题,然后应用一种大范围收敛的同伦方法求出非线性算子等于零的根作为反问题的解。把这种方法用于Paul(1976)给出的具有解析解的二维双相介质模型的数值模拟,模拟结果表明了同伦反演方法的可行性和稳健性。

关键词：双相介质反演同伦方法大范围收敛

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求解中途飞越燃料最优转移轨道的同伦方法

宇航学报 2017年第4期38卷 393-400页

作者：潘迅泮斌峰唐硕西北工业大学航天学院西安710072 航天飞行动力学技术重点实验室西安710072

提出一种新的同伦方法,用于求解深空探测中对其他天体进行中途飞越的小推力燃料最优转移轨道,克服由于其存在内点约束及不连续Bang-Bang控制所导致的数值优化方法的求解困难。该同伦方法将同伦参数同时嵌入到性能指标和内点约束方程中,... 详细信息

提出一种新的同伦方法,用于求解深空探测中对其他天体进行中途飞越的小推力燃料最优转移轨道,克服由于其存在内点约束及不连续Bang-Bang控制所导致的数值优化方法的求解困难。该同伦方法将同伦参数同时嵌入到性能指标和内点约束方程中,将容易求解的无内点约束且控制量连续变化的最优控制问题作为初始问题,求解一系列同伦参数递增所对应的同伦迭代子问题,直到得到原问题的解。该方法能够有效地解决中途飞越所导致的优化变量增加、求解难度增大等难题,能够快速、稳定地求解考虑中途飞越的小推力燃料最优转移轨道。最后,以地球到火星交会并中途飞越小行星和地球到木星交会并中途飞越火星两个任务为例进行数值仿真验证该同伦方法在求解中途飞越的燃料最优问题中的有效性和优越性。

关键词：中途飞越最优控制燃料最优小推力同伦方法深空探测

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利用同伦反演方法进行岩性油气藏研究

天然气工业 2005年第8期25卷 38-40页

作者：张丽琴王家映严德天武汉大学测绘学院.地球空间环境与大地测量教育部重点实验室中国地质大学地球物理与空间信息学院中国地质大学资源学院

声波阻抗参数直接反映油气储层物性,能用于预测储层空间和储集条件分布。文章针对传统的声波阻抗反演方法的不足,将大范围收敛的同伦方法用于地震勘探声波阻抗的反演。理论模型的反演结果表明,同伦反演方法是一种可靠的、抗噪能力强的... 详细信息

声波阻抗参数直接反映油气储层物性,能用于预测储层空间和储集条件分布。文章针对传统的声波阻抗反演方法的不足,将大范围收敛的同伦方法用于地震勘探声波阻抗的反演。理论模型的反演结果表明,同伦反演方法是一种可靠的、抗噪能力强的非线性数值计算方法。最后将同伦方法用于莺歌海盆地某一实际地震剖面的声波阻抗反演,反演结果显示出与测井资料很好的一致性,是一种非常有效的研究岩性油气藏的反演方法。

关键词：岩性油气藏油气勘探声阻抗反演数学模型测井反演方法同伦方法声波阻抗数值计算方法

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黏弹性介质参数反演的同伦方法

岩石力学与工程学报 2006年第8期25卷 1718-1722页

作者：田迎春章梓茂魏培君孙卫明北京交通大学土木建筑工程学院北京100044 北京科技大学应用科学学院北京100083

以介质的动态时域位移响应作为参数反演的依据,对黏弹性介质的材料参数进行反分析研究。动态时域位移响应比拟静态和频域位移响应含有更丰富的信息,且在实际工程中所测得的信息也多为动态时域信号,因此将时间全过程的位移信息用于黏弹... 详细信息

以介质的动态时域位移响应作为参数反演的依据,对黏弹性介质的材料参数进行反分析研究。动态时域位移响应比拟静态和频域位移响应含有更丰富的信息,且在实际工程中所测得的信息也多为动态时域信号,因此将时间全过程的位移信息用于黏弹性介质参数反分析,将使黏弹性介质参数反演的结果更为合理、更接近实际。根据位移响应的理论合成值应与实际测量数据相拟合的原则,将黏弹性介质参数反演问题转化为非线性算子方程的零点求解问题;然后,应用大范围收敛的同伦方法求出非线性算子等于0的根作为反问题的解。以黏弹性半空间介质为例进行数值模拟。模拟结果表明,反演结果不依赖于初始值的选取,且反算过程稳定收敛,说明同伦反演方法对于黏弹性参数的动态反演是适用、有效的。

关键词：数值模拟黏弹性介质时域动力问题参数反演同伦方法

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一维波动方程波阻抗反演的同伦方法

地球物理学报 2004年第6期47卷 1111-1117页

作者：张丽琴王家映严德天武汉大学地球空间环境与大地测量教育部重点实验室武汉430079 中国地质大学地球物理与空间信息学院武汉430074 中国地质大学资源学院沉积盆地与沉积矿产研究所北京430074

文中从地震勘探一维波动方程反问题出发 ,研究了一种反演地层参数的同伦方法 ,该方法把非线性方程组的求解转化成常微分方程初值问题的数值求解 ,从而给出一种稳定的计算速度快、抗噪能力强的全局收敛的反演方法 .理论模型和实例试算的... 详细信息

文中从地震勘探一维波动方程反问题出发 ,研究了一种反演地层参数的同伦方法 ,该方法把非线性方程组的求解转化成常微分方程初值问题的数值求解 ,从而给出一种稳定的计算速度快、抗噪能力强的全局收敛的反演方法 .理论模型和实例试算的结果表明了同伦方法是一种有效的反演算法 ,特别适用于非线性、多极值的地球物理反演问题。

关键词：同伦方法波动方程波阻抗反演地震勘探

低浓度固液两相流Boltzmann方程的同伦分析方法解

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应用基础与工程科学学报 2009年第6期17卷 811-818页

作者：张丽王光谦傅旭东孙其诚中南大学数学科学与计算技术学院湖南长沙410075 清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室北京100084

同伦分析方法(Homotopy analysis method,HAM)是求解强非线性问题的有力手段.针对两相流动理学理论中的非线性微分积分方程——Boltzmann方程,本文采用HAM方法选取Maxwell速度分布函数作为初始猜测解,求解得到了低浓度固液两相流的BGK模... 详细信息

同伦分析方法(Homotopy analysis method,HAM)是求解强非线性问题的有力手段.针对两相流动理学理论中的非线性微分积分方程——Boltzmann方程,本文采用HAM方法选取Maxwell速度分布函数作为初始猜测解,求解得到了低浓度固液两相流的BGK模型Boltzmann方程的一阶近似解,与传统的Chapman-Enskog方法得到的一阶近似解表达式的结构一致,显示了HAM方法求解Boltzmann方程的有效性,为一般Boltzmann方程的HAM方法求解奠定了基础.

关键词：固液两相流 Boltzmann方程同伦方法 Maxwell速度分布函数