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湖北大学学报（自然科学版） 2011年第4期33卷 433-436页

作者：屈寅春李立斌无锡职业技术学院数学教研室江苏无锡214073 扬州大学数学科学学院江苏扬州225002

运用群论、环论及初等数论的相关知识,确定当U(Zn)≌Z2+Zpm时,n的取值问题,其中m≥3,p为素数.

关键词：模n剩余类环单位群素幂阶循环群欧拉函数

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单位群U(Z[n^(1/2)])的结构

扬州大学学报（自然科学版） 2015年第2期18卷 5-7,11页

作者：刘兴鹏陈佳慧李立斌扬州大学数学科学学院江苏扬州225002

利用整环Z[n^(1/2)]的单位与Pell方程解的关系,给出了同底的非平方自然数n对应的整环Z[n^(1/2)]的单位群及其亚生成元之间的关系.

关键词：整环单位群 Pell方程

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关于(p,p)型数域(p≤19)的单位群

科学通报 1992年第21期37卷 1932-1934页

作者：段云中国科学技术大学数学系合肥230026

设K为(p,p)型数域,即K是有理数域Q的Galois扩张,Gaiois群Gal(K/Q)=C_p×C_p,这里C_p表示P阶循环群,P是奇素数。可以证明K洽好有(p+1)个P次循环子域,记作K_i 1≤i≤p+1。设U和U_i分别是数域K和K_i的单位群;

关键词：单位群类数数域

关于循环环的零因子、零化子以及单位群的结构

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数学的实践与认识 2018年第24期48卷 288-292页

作者：张隆辉石化国四川职业技术学院

研究了循环环的零因子、零化子以及单位群的结构,得到的主要结论有:1)若R为无限循环非零乘环,则有R0=φ,Z(R)=0;又设R=,a2=ka(k∈Z,k≠0),若|k|=1,则R*={a,-a};若|k|> 1,则R*=φ.2)设n(> 1)阶循环环R=,a2=ka(k∈Z,0 ,|Z(R)|=(k,n),R*=φ... 详细信息

研究了循环环的零因子、零化子以及单位群的结构,得到的主要结论有:1)若R为无限循环非零乘环,则有R0=φ,Z(R)=0;又设R=,a2=ka(k∈Z,k≠0),若|k|=1,则R*={a,-a};若|k|> 1,则R*=φ.2)设n(> 1)阶循环环R=,a2=ka(k∈Z,0 单位群, Z(R)=,|Z(R)|=(k,n),R*=φ; ii)如果(k,n)=1,则有R0={sa|0群的充要条件是:(k,n)=1,且n等于2,4,pα或2pα(p是奇质数).最后,给出了上述主要结论的一个应用.

关键词：循环环零因子零化子单位群

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复二次环的商环的迭代图及单位群

复二次环的商环的迭代图及单位群

作者：梁艺耀广西师范学院

学位级别：硕士

令Q为有理数域,对于无平方因子的整数d(d≠0,1),令K=Q(d),则K是Q上的二次扩域.我们记OK为K的代数整数环.当d<0时,称二次扩域K为复二次域,这时K的代数整数环OK称为复二次环.特别地,当d=-1时,OK即为高斯整数环Z[i]对于给定的一个集合S以... 详细信息

令Q为有理数域,对于无平方因子的整数d(d≠0,1),令K=Q(d),则K是Q上的二次扩域.我们记OK为K的代数整数环.当d单位群结构.主要内容如下：首先,在第一章中介绍了本文的研究背景及国内外相关领域的主要研究成果,并简单介绍各章节的主要研究内容和所采用的引理.在第二章中,研究了Z[i]/(γ)的立方迭代图的结构,这里γ是Z[i]中的素元的方幂.第三章则研究了Z[i]/(n)的五次方迭代图的结构,这里n是任意的正整数.这两章均完全确定了相应的迭代图中不动点的个数,顶点0和1的入度,迭代图的半正则性等.在第四章,对于任意的代数整数环OK,研究了Ox/pOK的线性迭代图,其中p为任意的素数.本章给出了商环Ox/POK的具体结构,并给出此迭代图中位于同一个圈上的顶点的相互关系.最后,在第五章中,为了后续研究工作需要,我们讨论了复二次域K=Q((-7))的代数整数环OK的商环的单位群,同时还完全确定了环OK的素元及其商环的剩余类.

关键词：复二次环代数整数环单位群迭代图半正则性

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虚二次环的商环的单位群与立方映射图

虚二次环的商环的单位群与立方映射图

作者：苏磊磊广西师范学院

学位级别：硕士

令K为有理数域的二次扩域,即K=Q((?)),其中d为不等于0,1的无平方因子的整数.我们用Rd表示K的代数整数环.当d的单位群结构,分别由 J. T. Cross(1983 年)、Gaohua Tang、Huadong Su 等(2010 年)及YangjiangWei(2016年)完全确定,其中(?)是R... 详细信息

令K为有理数域的二次扩域,即K=Q((?)),其中d为不等于0,1的无平方因子的整数.我们用Rd表示K的代数整数环.当d的单位群结构,分别由 J. T. Cross(1983 年)、Gaohua Tang、Huadong Su 等(2010 年)及YangjiangWei(2016年)完全确定,其中(?)是Rd中的素元,n为任意正整数.并且,d = -1时Rd的商环的立方映射图由Yangjiang Wei等进行了研究(2016年).本文对d = -3,-7,-11,-19,-43,-67,-163时Rd的商环的单位群结构、立方映射图结构进行研究.第一章,介绍本文研究的背景及主要的研究结果,同时给出了一些基本概念和性质.第二章,研究d = -3,-7,-11,-19,-43,-67,-163时Rd/的单位群结构,其中(?)是Rd中的素元,n为任意正整数.第三章,研究d =-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163时Rd/的立方映射图结构,包括不动点的个数,顶点0、1的入度,其中γ为Rd中的非单位元.

关键词：虚二次环商环单位群立方映射图不动点入度

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实二次环的商环的单位群

实二次环的商环的单位群

作者：梁林花南宁师范大学

学位级别：硕士

记Q为有理数域,K=Q(d)为其二次扩域,d(≠0、1)为无平方因子的整数,同时记OK为K的代数整数环。如果d0,Q 称为实二次域。它们对应的代数整数环分别称为虚二次环和实二次环。Gauss 猜想当 d0)的OK中的元素,其中e是d的有理素因子。如果2|d,... 详细信息

记Q为有理数域,K=Q(d)为其二次扩域,d(≠0、1)为无平方因子的整数,同时记OK为K的代数整数环。如果d0,Q 称为实二次域。它们对应的代数整数环分别称为虚二次环和实二次环。Gauss 猜想当 d单位群,其中ξ为Q(d)中的素元,n为大于0的任意整数。在文章中,令p和q分别表示满足勒让德符号(d/p)=-1和(d/p)=1的有理奇素数,ππ表示范数N(π)=±q的OK中的元素,η表示范数W(η)=±e(e>0)的OK中的元素,其中e是d的有理素因子。如果2|d,令δ表示范数等于±2的OK中元素。本文主要内容及结论如下:第一章介绍二次域及二次环的背景知识,以及扩域、代数整数元等基本概念和引理。第二章研究d≡1(mod 8)时的二次环OK的素元、商环OK/的等价类以及单位群结构。确定了 OK的所有素元为ξ=p、π、η和δ,以及它们的相伴元。在此基础上,获得了商环OK/的等价类,并完全决定了OK/单位群结构。第三章研究了d≡2(mod 8)和d≡6(mod 8),即d ≡ 2(mod 4)时的情况。确定了 OK的所有素元为ξ=p、π、η,以及它们的相伴元。并指出当ξ=p、π、η且η的范数为d的有理奇素因子时,商环OK/的单位群同构于d≡1(mod 8)时OK/的单位群。本章主要确定了当η的范数等于±2时OK/的单位群结构。第四章研究了d≡3(mod8)时的情况。确定了OK的所有素元为ξ=p、π、η和δ,以及它们的相伴元,其中δ的范数等于-2。并指出当ξ=p、π、时,商环OK/的单位群同构于d≡1(mod 8)时OK/的单位群。本章主要确定了当δ的范数等于-2时OK/单位群结构。第五章研究了d≡5(mod8)时的情况。确定了OK的所有素元为ξ=p、π、η和2,以及它们的相伴元。并指出当ξ=p、π、η时,商环OK/的单位群同构于d三1(mod 8)时OK/的单位群。对于ξ=2的情形,通过确定OK/的等价类,获得其单位群结构。第六章讨论了d≡7(mod8)时的情况。确定了O 的所有素元为ξ=p、π、η和δ,以及它们的相伴元,其中δ的范数等于2。并指出当ξ=p、π、η时,商环OK/的单位群同构于d≡3(mod8)时OK/的单位群。本章主要确定了当δ的范数等于2时OK/的单位群结构。

关键词：二次环商环单位群二次域

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Z_n[i]的单位群结构

广西师范大学学报（自然科学版） 2010年第2期28卷 38-41页

作者：唐高华苏华东易忠广西师范学院数学科学学院广西南宁530023 广西师范大学数学科学学院广西桂林541004

1801年,高斯给出了模n剩余类环Zn的单位群U(Zn)的结构定理,并在复平面上建立了高斯整数环Z[i]={a+bi a,b∈Z,i2=-1},解决了数论中的两平方和问题,但模n高斯整数环Zn[i]={a+bi a,b∈Zn}的单位群结构一直没解决。本文通过数论、组合和代... 详细信息

1801年,高斯给出了模n剩余类环Zn的单位群U(Zn)的结构定理,并在复平面上建立了高斯整数环Z[i]={a+bi a,b∈Z,i2=-1},解决了数论中的两平方和问题,但模n高斯整数环Zn[i]={a+bi a,b∈Zn}的单位群结构一直没解决。本文通过数论、组合和代数相结合的方法,给出了模n高斯整数环Zn[i]的单位群U(Zn[i])的结构定理。

关键词：模n高斯整数环单位群循环群

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整数模n剩余类环的单位群

整数模n剩余类环的单位群

作者：张影宁波大学

学位级别：硕士

单位群是代数中基础而且重要的内容之一,越来越多的专家学者对环的单位群进行了深入的研究,特别是各类矩阵环、群环、整数模n剩余类环n?及高斯整数环等等.文献中有大量关于它们的单位群的研究结论.本文主要应用中国剩余定理与整数模n剩... 详细信息

单位群是代数中基础而且重要的内容之一,越来越多的专家学者对环的单位群进行了深入的研究,特别是各类矩阵环、群环、整数模n剩余类环n?及高斯整数环等等.文献中有大量关于它们的单位群的研究结论.本文主要应用中国剩余定理与整数模n剩余类环n?及其单位群()nU?的分解定理,讨论并确定了当群()nU?的阶分别为2pqr,2p qr,?2p q r,??2p q r???及其结构确定时,n的取值,其中p,q,r(不必完全不同)为素数,?,?,?为正整数.论文安排如下:第一章绪论部分;第二章给出了与整数模n剩余类环单位群有关的概念、性质和结论;第三章讨论了单位群的阶为2pqr并且??nU?的结构确定时,n的取值;第四章讨论了单位群阶为2p?qr,2p?q?r,2p?q?r?并且??nU?的结构确定时,n的取值;第五章总结与展望部分.

关键词：剩余类环单位群中国剩余定理欧拉函数

有限群代数FG的单位群及Morphic问题

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有限群代数FG的单位群及Morphic问题

作者：谢春云广西师范学院

学位级别：硕士

本课题主要涉及数学中的环论,群论和初等数学等数学分支. 有限环一直是代数学中一个重要的研究领域,它不仅内容丰富,而且在众多的数学分支(如组合数学)以及工程科学(如编码理论)中有着重要的应用.特别是近二三十年以来,由于计算机技术... 详细信息

本课题主要涉及数学中的环论,群论和初等数学等数学分支. 有限环一直是代数学中一个重要的研究领域,它不仅内容丰富,而且在众多的数学分支(如组合数学)以及工程科学(如编码理论)中有着重要的应用.特别是近二三十年以来,由于计算机技术及互联网的发展,编码理论发展十分迅速,这就更进一步推动了有限环的研究. 群环是一个非常有趣的代数结构.而群环RG的单位群在我们学习群G以及群环RG之间的联系中起着极其重要的作用.很多学者对整群环的单位群结构进行了研究,但是对于域上的群环单位群结构研究甚少.对于群代数FG,当域F的特征不整除群G的阶时,FG是一个半单环,我们可以对FG进行半单分解,从而得到其单位群结构.用此方法u(F A4),u(FS3),u(FS4)和(?)(FD10)的结构已经被***,***和***在2007年和2009年确定.当F的特征整除群G的阶时,***和***从2008年开始就利用FG与F上的某个n×n阶矩阵子群存在的一个同构关系并结合了其它方法确定了FG的单位群.其中他们确定了u(F3k D6),u(F5k D20),u(F2k D8),u(F3k(C3×D6))以及(?)(F2kG),其中G是方指数为4阶为16的非交换群. 在本文的第一章中,我们概述了群环的单位群和morphic群环的发展历史,同时还给出了环论和morphic群环的一些基本概念和结论. 第二章中,我们研究了群代数FG的单位群的结构,其中G是21阶群,G1=G3×G7是交换的,而G2=是非交换的21阶群. 在第三章中我们完全确定了u(F3k D12),u(F3k Q12),u(F2k D12)和(?)(F2kA4)的单位群结构,其中D12=是12阶二面体群Q12=是12阶广义四元数群A4=是12阶的交错群.我们得到u(F3kD12)≌(C36k(?)C32k)(?)C3k-14当k是一个偶数时有u(F3k Q1z)≌(C36k(?)C32k)(?)C3k-14而当k是一个奇数时有u(F3k Q12)≌(C36k(?)C32k)(?)(C9k-1×C3k-12).u(F2k D12)≌C26k(?)(C2k×C2k-1×GL(2,△))其中△={r(g+g-1)|r∈F2k,g∈D6}当k是一个偶数时有,u(F2k A4)≌((C2k×C42k)(?)C42k)(?)C2k-13当k是一个奇数时有,u(F2k A4)≌((C2k×C42k)(?)C42k)(?)(C4k-1×C2k-1). 本文的最后一章,第四章中我们研究了ZnD8和ZnQ8的morphic问题,其中Q8=是四元数群D8=是8阶的二面体群.当n是一个奇数时,ZnD8和ZnQ8都是morphic群环.

关键词：群环群代数单位群 Jacobson根循环矩阵 morphic