有限群代数FG的单位群及Morphic问题

作     者：谢春云 

作者单位：广西师范学院 

学位级别：硕士

导师姓名：唐高华

授予年度：2011年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：群环 群代数 单位群 Jacobson根 循环矩阵 morphic 

摘      要：本课题主要涉及数学中的环论,群论和初等数学等数学分支. 有限环一直是代数学中一个重要的研究领域,它不仅内容丰富,而且在众多的数学分支(如组合数学)以及工程科学(如编码理论)中有着重要的应用.特别是近二三十年以来,由于计算机技术及互联网的发展,编码理论发展十分迅速,这就更进一步推动了有限环的研究. 群环是一个非常有趣的代数结构.而群环RG的单位群在我们学习群G以及群环RG之间的联系中起着极其重要的作用.很多学者对整群环的单位群结构进行了研究,但是对于域上的群环单位群结构研究甚少.对于群代数FG,当域F的特征不整除群G的阶时,FG是一个半单环,我们可以对FG进行半单分解,从而得到其单位群结构.用此方法u(F A4),u(FS3),u(FS4)和(?)(FD10)的结构已经被***,***和***在2007年和2009年确定.当F的特征整除群G的阶时,***和***从2008年开始就利用FG与F上的某个n×n阶矩阵子群存在的一个同构关系并结合了其它方法确定了FG的单位群.其中他们确定了u(F3k D6),u(F5k D20),u(F2k D8),u(F3k(C3×D6))以及(?)(F2kG),其中G是方指数为4阶为16的非交换群. 在本文的第一章中,我们概述了群环的单位群和morphic群环的发展历史,同时还给出了环论和morphic群环的一些基本概念和结论. 第二章中,我们研究了群代数FG的单位群的结构,其中G是21阶群,G1=G3×G7是交换的,而G2=是非交换的21阶群. 在第三章中我们完全确定了u(F3k D12),u(F3k Q12),u(F2k D12)和(?)(F2kA4)的单位群结构,其中D12=是12阶二面体群Q12=是12阶广义四元数群A4=是12阶的交错群.我们得到u(F3kD12)≌(C36k(?)C32k)(?)C3k-14当k是一个偶数时有u(F3k Q1z)≌(C36k(?)C32k)(?)C3k-14而当k是一个奇数时有u(F3k Q12)≌(C36k(?)C32k)(?)(C9k-1×C3k-12).u(F2k D12)≌C26k(?)(C2k×C2k-1×GL(2,△))其中△={r(g+g-1)|r∈F2k,g∈D6}当k是一个偶数时有,u(F2k A4)≌((C2k×C42k)(?)C42k)(?)C2k-13当k是一个奇数时有,u(F2k A4)≌((C2k×C42k)(?)C42k)(?)(C4k-1×C2k-1). 本文的最后一章,第四章中我们研究了ZnD8和ZnQ8的morphic问题,其中Q8=是四元数群D8=是8阶的二面体群.当n是一个奇数时,ZnD8和ZnQ8都是morphic群环.