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带Neumann边界条件的分数阶laplacian算子的特征值问题及应用

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带Neumann边界条件的分数阶Laplacian算子的特征值问题及应用

作者：弓昕兰州大学

学位级别：硕士

众所周知,线性微分算子的特征值和特征函数是算子理论的核心之一,也是研究相应非线性问题的基础之一.我们研究了在Neumann边界条件下带权的分数阶laplacian算子的特征值问题(?)其中,s ∈(0,1),λ>0,m,c∈C(Ω).首先在c(x)三0的情形下,... 详细信息

众所周知,线性微分算子的特征值和特征函数是算子理论的核心之一,也是研究相应非线性问题的基础之一.我们研究了在Neumann边界条件下带权的分数阶laplacian算子的特征值问题(?)其中,s ∈(0,1),λ>0,m,c∈C(Ω).首先在c(x)三0的情形下,上述问题存在正的主特征值的充要条件是权函数m(x)满足条件∫m(x)dx0,将Montefusco等人[Discrete ***.B,2013]的结果(s= 1/2 的情形)推广到一般的s ∈(0,1).同时证明了该特征值的爆破性质,即对于一列权函数(?)的充分条件和必要条件,这个结论将经典的laplacian算子的情形[Umezu K.,et al.,***.,2007]推广到了分数阶laplacian算子.接着考虑了m(x ≡1的情形,证明了上述特征值问题主特征值λ和其对应的主特征函数的存在性,并且λ是单的.当λ>λ,若上述问题解存在,则解是变号的.在此基础上,最后研究了如下logistic型方程(?)存在唯一正解的充要条件是λ>λ,并讨论了该正解的正则性,把Dirichlet边界情形的结果[Alves M.O.,et al.,***.,2017]推广到Neumann 边界情形。

关键词：分数阶laplacian算子特征值问题 Neumann边界条件爆破性质 Logistic型方程

三类具分数阶laplacian算子的波方程适定性研究

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三类具分数阶Laplacian算子的波方程适定性研究

作者：张美娜哈尔滨工程大学

学位级别：硕士

本文针对三类具分数阶laplacian算子波方程解的适定性进行研究。分数阶laplacian算子在金融、物理学、流体动力学、种群动力学、图像处理、最小曲面和博弈论等方面有着重要的应用。本文旨在揭示具有非局部特性的分数阶laplacian算子对... 详细信息

本文针对三类具分数阶laplacian算子波方程解的适定性进行研究。分数阶laplacian算子在金融、物理学、流体动力学、种群动力学、图像处理、最小曲面和博弈论等方面有着重要的应用。本文旨在揭示具有非局部特性的分数阶laplacian算子对于对数源波方程、广义源退化的基尔霍夫型波方程和多项式源退化与非退化的基尔霍夫型耗散波方程在动力学性态上产生的影响。本文主要借助泛函分析理论来进行研究,结合位势井理论、Galerkin方法和凹函数方法,分别对上述方程的解在三个不同初始能级下(次临界、临界、超临界)的定性性质进行研究,并分析了解对初值的依赖性。第二章针对具对数源的分数阶laplacian算子波方程的初边值问题进行研究。本章首先根据对数Sobolev不等式建立W空间下的范数与对数项的联系,在之后定理的证明中利用W模来控制对数项。然后应用Galerkin方法得到次临界初始能级下解的整体存在,通过构建泛函给出解无限时间爆破的性质。然后应用尺度变换给出临界初始能级下方程的定解性质。最后,通过对初值的附加条件给出了超临界初始能级下方程解的无限时间爆破。第三章针对具广义源项的退化基尔霍夫型分数阶laplacian算子波方程的初边值问题进行研究。首先,本章在位势井框架下给出了相关能量泛函与井深的相关理论。其次,本章在超临界能级下找到新的初值条件,借助初始能量与初值的关系,通过改进的凹函数方法得到解的有限时间爆破。最后,当广义源项为特殊的非线性多项式源项时,通过对微分不等式的运用给出爆破时间上、下界的估计。第四章针对具多项式源项、退化与非退化基尔霍夫项、分数阶强阻尼项、线性与非线性弱阻尼项的分数阶laplacian算子波方程的初边值问题进行研究。分数阶强阻尼项和线性与非线性弱阻尼项的出现,无疑会使分析该问题动力学性态的难度大大加强。本章首先通过G(?)teaux导数处理非线性项,结合压缩映射原理得到局部解的存在唯一性。然后在次临界初始能级下,通过Galerkin方法给出解的整体存在,应用微分不等式给出能量呈指数衰减的性质,建立适当的泛函给出有限时间爆破。随后应用尺度变换给出临界初始能级下方程的定解性质。最后,通过对初值的附加条件给出超临界初始能级下方程解的有限时间爆破,通过对微分不等式的运用给出了爆破时间的上、下界。

关键词：分数阶laplacian算子整体适定性位势井有限时间爆破爆破时间

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一类分数阶奇异椭圆方程无穷多解的存在性

西南大学学报（自然科学版） 2022年第2期44卷 89-95页

作者：吴卓伦商彦英西南大学数学与统计学院重庆400715

本文研究一类带有分数阶Sobolev-Hardy临界指数的奇异椭圆方程,通过(PS)^(*)_(c)条件克服了紧性缺失,利用对偶喷泉定理证明了该方程无穷多解的存在性.

关键词：分数阶laplacian算子 Sobolev-Hardy临界指数对偶喷泉定理 (PS)^(*)_(c)条件奇异椭圆方程

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两类分数阶奇异椭圆方程解的存在性和多重性

两类分数阶奇异椭圆方程解的存在性和多重性

作者：吴卓伦西南大学

学位级别：硕士

本文主要研究两类分数阶奇异椭圆方程,运用变分法和一些分析技巧得到了解的存在性和多重性.首先,研究了带有Hardy项和Sobolev-Hardy临界指数的分数阶椭圆方程问题:(?).其中,Ω(?)R(N≥3)是具有光滑边界的有界区域,02s,且p∈2(1,2(α)).... 详细信息

本文主要研究两类分数阶奇异椭圆方程,运用变分法和一些分析技巧得到了解的存在性和多重性.首先,研究了带有Hardy项和Sobolev-Hardy临界指数的分数阶椭圆方程问题:(?).其中,Ω(?)R(N≥3)是具有光滑边界的有界区域,0分数阶Schr(?)dinger方程问题:(?)其中N>2s,且p∈2(1,2(α)).对问题(0.0.1)和(0.0.2),由于Hardy-Sobolev临界指数使能量泛函不满足紧性条件对我们带来了一定困难,为了克服这一困难,在问题(0.0.1)中我们利用对偶喷泉定理,在一定条件下证明了该方程无穷多解的存在性,在问题(0.0.2)中,我们通过集中紧性原理对(PS)序列分析处理,证明了该类方程在不同条件下解的存在性和多重性.

关键词：分数阶laplacian算子 Hardy位势 Hardy-Sobolev临界指数集中紧性原理对偶喷泉定理

二维非定常分数阶laplacian问题的一种时间并行多重网格解法器

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二维非定常分数阶Laplacian问题的一种时间并行多重网格解法器

作者：唐娟湘潭大学

学位级别：硕士

非定常分数阶laplacian问题在分数阶微积分领域中特别受关注.该问题的难点之一是分数阶laplacian算子的非局部性,常用的解法是利用Caffarelli-Silvestre扩张将其转化为高一维度的局部问题;另一难点是如何设计高效的时空并行解法器.时间... 详细信息

非定常分数阶laplacian问题在分数阶微积分领域中特别受关注.该问题的难点之一是分数阶laplacian算子的非局部性,常用的解法是利用Caffarelli-Silvestre扩张将其转化为高一维度的局部问题;另一难点是如何设计高效的时空并行解法器.时间上的多重网格时间规约(MGRIT)技巧基于时间并行度已被证实能获取更高的加速比.本文针对一类二维非定常的分数阶laplacian问题,首先,在时间维度上采用向后Euler离散、空间维度上利用线性有限元(FE)离散,得到了各向异性网格下的全隐离散FE格式;接着,给出基于FCF-松弛及与时间相关的时间网格传播算子的MGRIT V(1,0)-循环算法描述,并受[***,SIAM *** ***.40(2019)564-608]的启发,在“同时对角化”的假设下,推导出其两水平MGRIT V(1,0)-循环算法的收敛性,消除了先前对细粗时间网格传播算子的酉对角化假设;最后,通过两个数值算例,证实了全隐离散FE格式的最优收敛阶与计算误差范数的衰减率DoF(DoF为空间的自由度个数),文[***,***,***′arola and ***,***.85(2016)2583-2607]提出的基于“线”磨光算子的多重网格法对问题的阶数和空间网格尺寸的稳健性,以及所推得的两水平MGRIT算法收敛上界的严格度.

关键词：分数阶laplacian算子 Caffarelli-Silvestre扩张有限元 FCF-松弛多重网格时间并行