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β-展式中Birkhoff遍历平均发散点集的重分形分析研究

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β-展式中Birkhoff遍历平均发散点集的重分形分析研究

作者：陈会军华中科技大学

学位级别：硕士

区别于具有马尔科夫性质的系统,本文研究不具有马尔科夫性质系统中的重分形分析问题。为了更好的理解非马尔科夫性以及克服由它引起的障碍,本文旨在研究β-展式中所谓的Birkhoff遍历平均发散点集的重分形分析问题。最后得到了Olsen研究... 详细信息

区别于具有马尔科夫性质的系统,本文研究不具有马尔科夫性质系统中的重分形分析问题。为了更好的理解非马尔科夫性以及克服由它引起的障碍,本文旨在研究β-展式中所谓的Birkhoff遍历平均发散点集的重分形分析问题。最后得到了Olsen研究中所给的发散集合的维数结果,定理的第一部分证明的方法与他们类似,而第二部分证明的方法较之于他们使用的大偏差理论,我们所采用的Lebesgue覆盖引理则显得更为简单。更准确地,设β>1,([0,1],Tβ)为β-动力系统,φ[0,1]→R是一个连续函数。记序列的所有聚点集为A(φ,x)。对任何连续函数φ来说,我们完整地确定了下列集合的Hausdorff维数,即集合(?)这些集合中的点的Birkhoff遍历平均不存在但以某种规定的方式发散。在本文研究结果的基础上,对于今后的课题,我们还可以尝试在更一般有限或者无穷个分支的迭代函数系统或其他的一些研究背景下对Birkhoff遍历平均发散点集进行重分形分析研究,以得到更为充分的结论。

关键词：发散点 β-展式 Hausdorff维数

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实数的β-展式中连续零的长度研究

实数的β-展式中连续零的长度研究

作者：李娆四川师范大学

学位级别：硕士

对于任意的两个实数:x ∈[0,1]和β>1,记rn(x,β)为x在基β下的β-展式的前n项中连续零的最大长度.长度变化函数rn(x,β)在取定的基β或取定的实数x=1时已经被很好的研究.本文我们将运用Borel-Cantelli引理、质量分布原理等方法去探究... 详细信息

对于任意的两个实数:x ∈[0,1]和β>1,记rn(x,β)为x在基β下的β-展式的前n项中连续零的最大长度.长度变化函数rn(x,β)在取定的基β或取定的实数x=1时已经被很好的研究.本文我们将运用Borel-Cantelli引理、质量分布原理等方法去探究对于一般的x ∈(0,1),长度变化函数rn(x,β)随着n趋于无穷时的渐近行为.首先,我们将证明对于任意的实数x ∈(0,1),集合(?)的Lebesgue测度是满的.在考虑完该集合的测度性质以后,我们将证明对于任意的实数:x ∈(0,1)和0 ≤ a ≤ b ≤+∞,集合(?)的Hausdorff维数为1.更进一步地,我们得到当长度变化函数rn(x,β)以更一般的速度φ(n)趋于无穷时,对于任意的实数x ∈(0,1)和0≤a≤b≤+∞,集合(?)的Hausdorff维数同样为1,其中,φ:N→R+是严格递增的函数,满足随着n→∞,φ(n)递增到+∞,φ(n)/n递减到0.此外,我们还会去估计集合(?)对于任意的实数x ∈(0,1)和0≤c≤d≤1的Hausdorff维数.

关键词：长度变化函数 β-展式 Lebesgue测度 Hausdorff维数

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β-变换的常返率问题

中国科学：数学 2018年第8期48卷 987-998页

作者：危纯吴敏王帅灵中南财经政法大学统计与数学学院武汉430073 华南理工大学数学学院广州510641

设([0,1),T_β)是β-变换动力系统.对x∈[0,1),记τ_n~β(x)为x首次返回到包含x的n阶柱集的时间.本文研究集合{x ∈ [0, 1) : lim inf n→∞(log τ_n~β(x))/log n= α, lim sup n→∞(log τ_n~β(x))/logn= γ}的Hausdorff维数,其中... 详细信息

设([0,1),T_β)是β-变换动力系统.对x∈[0,1),记τ_n~β(x)为x首次返回到包含x的n阶柱集的时间.本文研究集合{x ∈ [0, 1) : lim inf n→∞(log τ_n~β(x))/log n= α, lim sup n→∞(log τ_n~β(x))/logn= γ}的Hausdorff维数,其中0αγ+∞,并证明了当α<1时,这个集合的Hausdorff维数是0;当α1时,这个集合的Hausdorff维数就是1.随后,本文还考虑了首次返回到球的维数谱,得到了类似的0-1律.

关键词： β-展式常返率 Hausdorff维数

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数的展式中一些分形集的研究

数的展式中一些分形集的研究

作者：张晗玥南昌航空大学

学位级别：硕士

在数的展式及相关动力系统的研究中,展式字符满足某些限制条件及动力系统的很多不变集都是分形.研究这些分形集的结构和Hausdorff维数是数论和动力系统中十分关心的问题.Schmidt’s game作为研究分形集的可数交的一个重要工具,近年来在... 详细信息

在数的展式及相关动力系统的研究中,展式字符满足某些限制条件及动力系统的很多不变集都是分形.研究这些分形集的结构和Hausdorff维数是数论和动力系统中十分关心的问题.Schmidt’s game作为研究分形集的可数交的一个重要工具,近年来在国内外的相关研究中得到了广泛的应用.负基展式作为经典正基展式的一种推广,是最近十多年才被提出并引起关注的一类新的展式.负基展式及对应的动力系统与经典情形相比,他们的组合结构和拓扑性质都有很大差异.本论文主要研究了两个问题,一个是Schmidt的(α,β)-game关于参数a,b变化时的性质;另一个是在(-β)-变换下,轨道不稠密点所构成的集合的维数.第一章是绪论部分.主要介绍了Schmidt’s game和非整数基展式的研究背景.首先介绍了Schmidt’s game在丢番图逼近和数的展式、动力系统的轨道逼近问题中的应用,以及Schmidt的(α,β)-game关于参数a,b的已有结论.接着介绍了非整数基展式的研究背景和研究现状,并着重介绍了负基展式的研究情况以及与正基展式的比较.最后介绍了本论文的主要研究问题.第二章是预备知识,主要介绍了一些分形几何、动力系统以及数的展式的一些定义和基本性质.主要内容为Hausdorff测度和维数的定义及基本性质,符号空间的定义,几类数的展式的简单介绍,Schmidt的(α,β)-game的定义及winning集的性质.第三章主要研究了Schmidt的(α,β)-game在参数α,β变化时的性质.Schmidt在其专著中提出了(α,β)-winning集在参数a减小时是否仍然是winning的问题.这一问题由Freiling给出了否定的解答.我们从另一方向提出问题,即参数b变大时,所给集合是否仍然保持winning不变,并给出了解答.第四章主要研究了在(-β)-变换下,轨道不稠密点所组成的集合的Hausdorff维数,证明了该集合是满维的.在经典β-变换下,类似的集合总是零测满维的.但当b小于黄金分割数的倒数时,在(-β)-变换下,该集合不是零测的.第五章对论文的研究工作进行了总结,并针对已有的研究结果提出了一些可供进一步研究的问题.

关键词： Schmidt’s game Hausdorff测度 Hausdorff维数 β-展式 (-β)-展式

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β动力系统的基本性质研究

β动力系统的基本性质研究

作者：王晓坤华中科技大学

学位级别：硕士

本文主要研究在β动力系统([0,1],Tβ)中,一些重要的基本性质.首先,介绍了β展式以及β数的特征方程.其次,本文得出了简单β数的分布.最后,本文研究了不同的β-可允许序列之间的关系.在某种意义下说明了,当用简单β数βN从下逼近一般的... 详细信息

本文主要研究在β动力系统([0,1],Tβ)中,一些重要的基本性质.首先,介绍了β展式以及β数的特征方程.其次,本文得出了简单β数的分布.最后,本文研究了不同的β-可允许序列之间的关系.在某种意义下说明了,当用简单β数βN从下逼近一般的β时,几乎所有的β-可允许序列都是βN-可允许的. 设1的βN-展式为：(ε1*(β),…,εN*-1(β),εN*(β)-1)∞,给定一长度为n的β-可允许序列ε=(E1,…,ε。)我们给出如下的算法：从左到右观察词ε=(ε1,…εn)中,是否含有1的βN-展式的有限部分,即(ε1*(β),…,εN*1(β),εN*(β)-1).若含有,则将其最后的数改为原来的数减1;若不含有,则不做任何变动. 那么此算法也可以表示如下形式：(ε1*(β),…,EN*1(β),εN*(β))→(ε1*(β),…,εN*-1(β),εN*(β)-1).最后,我们就会得到的长度为n的序列记为ε,并定义π(ε)=ε.对于任意的ε∈∑βNn#π-1(ε)≤2n/N,我们己知：βn≤#∑βn≤βn+1／(β-1).也就是说ε与ε几乎是一一对应的.所以可以说在相应的子系统上研究相应的问题时,几乎没有损失可允许序列. 据此,我们证明了在β动力系统中,压力函数P(f,Tβ)关于β是连续的,其中,f是定义于[0,1]上的连续函数.有了压力函数的连续性,我们还可以证明一些关于维数的重要维数结论.

关键词： β-展式压力函数从下逼近

Beta-变换动力系统中攀援集和distal集的性质

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Beta-变换动力系统中攀援集和distal集的性质

作者：张颖华南理工大学

学位级别：硕士

本文研究ββ-变换动力系统中的混沌性质及相关集合的Hausdorff维数（β>1),该系统是Li-York混沌的,即存在攀援集是不可数的.我们证明了对所有β>1,攀援集的Lebesgue测度是零.攀援对是指对中两点的轨道无穷多次地靠近,而又无穷多次地远... 详细信息

本文研究ββ-变换动力系统中的混沌性质及相关集合的Hausdorff维数（β>1),该系统是Li-York混沌的,即存在攀援集是不可数的.我们证明了对所有β>1,攀援集的Lebesgue测度是零.攀援对是指对中两点的轨道无穷多次地靠近,而又无穷多次地远离.一个给定点xx的distal集是指轨道总是远离x0的轨道的点组成的集合,根据Borel-Cantelli引理和Parry测度的性质,我们得到在[0,1)上任何给定点的distal集都是Lebesgue零测集.进一步,我们研究该集合的Hausdorff维数,给出了一个相关集合的Hausdorff维数的下界.本文的具体内容安排如下:在第一部分序言中,先是回顾了拓扑动力系统和混沌的起源与发展的现状,随后说明了攀援集和distal集合的研究意义和研究现状.在第二章,我们介绍了符号空间、测度、维数的定义及其性质,并给出了一些关于混沌的定义,包括:Li-York混沌,Devaney混沌等,由此引出了攀援集,distal集,为后文研究在ββ-变换下攀援集和distal集的性质做铺垫.在第三章中,先介绍了β-变换的定义和相关性质,然后结合已有的研究成果主要证明了在变换ββ-下攀援集和distal集的测度性质.在第四章,用质量分布原理等证明了在ββ-变换下,轨道与给定点xx0轨道总是远离的点的集合Pβm(x0)的维数性质.

关键词： β-展式攀援集 distal集混沌维数测度