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江西师范大学学报（自然科学版） 2018年第6期42卷 610-615页

作者：邱淑芳王泽文曾祥龙胡彬东华理工大学理学院江西南昌330013

考虑了一类具有Neumann边界的时间分数阶扩散方程源项反演问题.首先,从分离变量法出发将反问题归结为第1类Volterra积分方程,从而揭示出反问题的不适定性;其次,为了获得反问题的条件稳定性,通过分数阶数值微分将第1类Volterra积分方程... 详细信息

考虑了一类具有Neumann边界的时间分数阶扩散方程源项反演问题.首先,从分离变量法出发将反问题归结为第1类Volterra积分方程,从而揭示出反问题的不适定性;其次,为了获得反问题的条件稳定性,通过分数阶数值微分将第1类Volterra积分方程转化为第2类Volterra积分方程,建立源项反问题的条件稳定性和误差估计;最后,引进磨光正则化,获得稳定的分数阶数值导数,将其代入求解第2类积分方程,从而稳定地重建出仅依赖时间变量的源项.数值实验结果验证了所得反演算法的有效性.

关键词：不适定问题时间分数阶方程源项反演正则化方法磨光方法

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两类二维非线性时间分数阶微分方程的两网格差分格式

两类二维非线性时间分数阶微分方程的两网格差分格式

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作者：王芙蓉湖南工业大学

学位级别：硕士

在近几十年里,越来越多的分数阶微分方程被用来描述许多领域出现的实际问题。许多国内外科研专家开始关注分数阶微分理论,但是大多数分数阶微分方程的解析解很难求解出甚至无法求出。因此,为了较好的解决这个问题就有许多科研人员研究... 详细信息

在近几十年里,越来越多的分数阶微分方程被用来描述许多领域出现的实际问题。许多国内外科研专家开始关注分数阶微分理论,但是大多数分数阶微分方程的解析解很难求解出甚至无法求出。因此,为了较好的解决这个问题就有许多科研人员研究各种各样有效的数值方法。本文主要研究带弱奇异核二维非线性时间分数阶微分方程的两网格有限差分方法。首先,利用两网格有限差分法求解带弱奇异核二维非线性时间分数阶微分方程。时间导数和Caputo分数阶导数分别采用二阶向后差分公式和L1公式离散。为了提高非线性系统的求解效率,构造了在时间上的两网格算法。在粗网格上用牛顿迭代法求解非线性离散方程组,然后利用拉格朗日线性插值公式为细网格上的离散差分格式的构造提供初值,从而进一步求解在细网格上的线性差分系统。空间导数通过标准中心差分公式离散。同时,证明了两网格全离散系统的无条件稳定性和收敛性。数值实验表明,所提出的两网格差分算法比常规有限差分算法求解非线性系统所占用的CPU时间要少。其次,针对二维非线性时间分数阶波方程提出了时间两网格差分法。该方法分为三个步骤:首先,在粗网格上用不动点迭代法求解非线性系统。其次,利用拉格朗日线性插值公式求得一些用于细网格上的线性差分格式构造的辅助数值。最后,在细网格上求解线性化的有限差分格式。对于时间方向,用L1公式逼近分数Caputo导数。对于空间方向,空间导数采用标准中心差分公式逼近。同时,我们通过能量法可以得到两网格差分格式在离散L范数下的稳定性和收敛性。此外,数值例子的实验数据表明,两网格差分算法在求解非线性系统的高效性和可行性。

关键词：时间分数阶方程两网格算法有限差分法稳定性收敛性

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几类分数阶反应扩散方程及其相关问题的研究

几类分数阶反应扩散方程及其相关问题的研究

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作者：汪庆康广西师范大学

学位级别：硕士

根据内容,本文主要分为三个部分:第一部分研究了一类时间分数阶扩散波方程的Cauchy问题.我们首先通过分离变量法求解出时间分数阶扩散波方程的形式解.其次利用Fourier变换和Mittag-Leffler函数、Mainardi函数的相关性质证明了Cauchy问... 详细信息

根据内容,本文主要分为三个部分:第一部分研究了一类时间分数阶扩散波方程的Cauchy问题.我们首先通过分离变量法求解出时间分数阶扩散波方程的形式解.其次利用Fourier变换和Mittag-Leffler函数、Mainardi函数的相关性质证明了Cauchy问题解的存在性定理.第二部分研究了一类时间分数阶扩散方程解的存在唯一性.我们采用分离变量法和Fourier级数展开式证明了时间分数阶扩散方程解的存在唯一性.第三部分研究了分数阶Laplace指数非线性热方程的柯西问题.我们利用C0∞（Rn）的稠密性,将exp L0p（Rn）中的初始条件拆分成一个光滑的部分和exp Lp（Rn）中一个很小的部分,运用Banach不动点定理证明了分数阶Laplace指数非线性热方程在C（[0,T];exp L0p（Rn））中的局部适定性和L∞（（0,∞）;exp L0p（Rn））中的全局存在性,并且给出解在Lq（Rn）上的衰减估计.

关键词：时间分数阶方程分离变量法 Fourier变换分数阶Laplace Holder不等式 Banach不动点定理

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基于径向基函数的偏微分方程数值解法

基于径向基函数的偏微分方程数值解法

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作者：张娜浙江工商大学

学位级别：硕士

本文给出了一个基于径向基函数的求解偏微分方程的方法.第一部分给出MQ拟插值解sine-Gordon方程的方法,将一维情况推广到多维,并对误差进行了分析.第二部分给出了基于径向基函数的隐式的无网格方法对时间分数阶线性Klein-Gordon方程进... 详细信息

本文给出了一个基于径向基函数的求解偏微分方程的方法.第一部分给出MQ拟插值解sine-Gordon方程的方法,将一维情况推广到多维,并对误差进行了分析.第二部分给出了基于径向基函数的隐式的无网格方法对时间分数阶线性Klein-Gordon方程进行数值模拟.在离散过程中,先对方程的时间域上的分数阶导数逼近,再用kansa方法逼近空间导数.在理论上讨论和证明了此方法的无条件稳定性和收敛性,并得出此时间离散方法的收敛阶为O(丁3-α).通过本文的研究表明,MQ拟插值法解多维偏微分方程是有效的;基于径向基函数的无网格方法同样适用于含时的非线性偏微分方程.将数值例子的结果与解析解对比,证实了本文方法的准确性和有效性.

关键词：时间分数阶方程径向基函数 Kansa方法无网格方法 MQ拟插值

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