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四阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性

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四阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性

作者：高宏丽山西大学

学位级别：硕士

微分方程Dirichlet边值问题是微分方程边值问题中比较典型的一类问题,对这一类型的问题,很多文献用拓扑度理论和不动点指数理论(参见文献[4-8,30-32]),或用Morse理论(参见文献[16-23]),或用临界点理论(参见文献[9],[13-15,24-29])为工... 详细信息

微分方程Dirichlet边值问题是微分方程边值问题中比较典型的一类问题,对这一类型的问题,很多文献用拓扑度理论和不动点指数理论(参见文献[4-8,30-32]),或用Morse理论(参见文献[16-23]),或用临界点理论(参见文献[9],[13-15,24-29])为工具已经获得许多有关解的存在性及多解性的结果.文[9]中将临界点理论运用到一族超二次的二阶Hamiltonian系统中,通过文献[10]中Luan和Mao得到的局部环绕定理得到了方程至少存在一个非平凡的周期解.受文[9]的启发,本文第一章考虑了如下四阶微分方程Dirichlet边值问题：其中A(t),B(t)是N×N对称阵,A(·)连续,B(·)连续可微且(B(t)x,x)≥｜x｜2,(t,x)∈[0,1]×RN.F:[0,1]×RN→R满足条件：(A)对任意x∈RN,F(.,x)是可测函数,对几乎处处的t∈[0,1],F(t,·)是连续可微函数,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,1],R+),使得运用文[10]中的局部环绕定理的方法,得到了如下主要结果：定理设F满足(A)和下列假设：对几乎处处的t∈[0,1]一致成立;对几乎处处的t∈[0,1]一致成立;(F3)存在λ>2,d1>0,使得对几乎处处的t∈[0,1]一致成立;(F4)存在β>λ-1,d2>0,使得对几乎处处的t∈[0,1]一致成立;(F5)F(t,x)≥0,(t,x)∈[0,1]×RN.若0是d4/(dt4)-d/(dt)(B(t)d/(dt))+A(t)带有Dirichlet边值条件的特征值,那么问题(1.1.1)至少有一个非平凡的解.文[14]运用了临界点理论和Morse理论作为工具对Kirchhoff型方程进行了研究,并且得到了有关解的存在性及多解性结果.文[13]中运用了临界点理论的方法对一族带有Dirichlet边值问题的Kichhoff型方程进行研究且得到了弱解的存在性及多解性.文[12]特别用了Krasnoselskill类方法对p-Kirchhoff型方程的解的存在性和多解性进行了研究.本文第二章受文[12]和文[13]的启发研究了如下四阶带有Dirichlet边值问题的Kirchhorff型方程：其中M：R+→R+及f：[0,1]×R→R是连续函数且满足以下条件：(M)Atα≤M(t)≤Btα,t∈R+,其中A,B,a是正常数;(f1)｜f(x,t)≤c(｜t｜q-1+1),(x,t)∈[0,1]×R,其中c是正常数,q∈(2,2*)且α>(q+1)/2;(f2)(?)(f(x,t))/t=+∞,对几乎处处的x∈[0,1]一致成立;(f3)f(x,t)=-f(x,-t),(x,t)∈[0,1]×R;(f4)存在μ>2(α+1),R>0使得0R.定理假设M和f满足条件(M),(f1),(f2),(f3),(f4),则问题(2.1.1)有无穷多个解.

关键词：四阶微分方程 Dirichlet边值问题临界点局部环绕类

一个奇摄动四阶微分方程的非线性混合边值问题

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山东大学学报（理学版） 2015年第3期50卷 67-72页

作者：陈雯姚静荪杨雪洁安徽师范大学数学计算机科学学院安徽芜湖241003

研究了一个带非线性混合边界条件的四阶非线性微分方程的奇摄动边值问题。运用合成展开法构造了该问题的形式渐近解,并利用微分不等式理论证明了该问题解的存在性,给出了渐近解关于精确解的误差估计。

关键词：奇摄动四阶微分方程合成展开法微分不等式理论

单边Nagumo条件下四阶微分方程边值问题解的存在性

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高校应用数学学报（A辑） 2008年第1期23卷 61-66页

作者：孙忠民赵增勤任锁全曲阜师范大学数学科学学院山东曲阜273165 潍坊教育学院山东潍坊262500

利用上下解方法及Leray-Schauder度,研究单边Nagumo条件下四阶微分方程边值问题解的存在性,并给出所获结果的一个应用.

关键词：四阶微分方程单边Nagumo条件上下解方法

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具积分边值条件四阶微分方程解的存在性

吉林大学学报（理学版） 2013年第4期51卷 545-550页

作者：宋文晶高文杰吉林财经大学应用数学学院长春130117 吉林大学数学研究所长春130012

运用先验估计、上下解技巧和Leray-Schauder度理论给出了具有积分边值条件四阶微分方程解的存在性.

关键词：积分边值条件四阶微分方程解的存在性

具有混合单调非线性项的四阶微分方程两点边值问题

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数学的实践与认识 2020年第8期50卷 178-185页

作者：宋姝张玲玲山西工程职业学院基础部山西太原030009 太原理工大学数学学院山西太原030024

讨论了一类具有混合单调非线性项的四阶微分方程两点边值问题,运用一类混合单调算子的不动点定理及"和型"非线性算子的不动点定理,结合单调迭代技巧和格林函数的性质,获得方程正解存在且唯一的充分条件,并构造两个迭代序列收敛于此唯一... 详细信息

讨论了一类具有混合单调非线性项的四阶微分方程两点边值问题,运用一类混合单调算子的不动点定理及"和型"非线性算子的不动点定理,结合单调迭代技巧和格林函数的性质,获得方程正解存在且唯一的充分条件,并构造两个迭代序列收敛于此唯一解.最后,给出具体的例子验证了定理的正确性.

关键词：四阶微分方程不动点定理边值问题正解

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奇异四阶微分方程m点边值问题正解的存在性

西南师范大学学报（自然科学版） 2020年第10期45卷 28-34页

作者：赵微大庆师范学院教师教育学院黑龙江大庆163712

讨论了如下奇异四阶微分方程m点边值问题正解的存在性:u(4)(t)+h(t)f(u)=0 u(0)=u(1)=u″(0)=0 u″(1)=∑m-2 i=1βiu″(ηi)其中:ηi∈(0,1),0<η1<η2<…<ηm-2<1;βi∈[0,∞)且∑m-2 i=1βiηi<1;函数h(t):(0,1)[0,+∞)连续且不恒等... 详细信息

讨论了如下奇异四阶微分方程m点边值问题正解的存在性:u(4)(t)+h(t)f(u)=0 u(0)=u(1)=u″(0)=0 u″(1)=∑m-2 i=1βiu″(ηi)其中:ηi∈(0,1),0四阶微分方程m点边值问题的格林函数,并得到其相关性质;其次,构建了Banach空间上的锥,及其锥上的凸泛函,通过运用凸泛函上的不动点指数定理来计算不动点指数,从而得到了上述边值问题至少有一个正解存在的结论;最后,给出一个例子,说明主要定理的具体应用.

关键词：四阶微分方程 m点边值问题格林函数凸泛函不动点指数