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双线性方法在几类波动方程中的应用

双线性方法在几类波动方程中的应用

作者：叶灵娅浙江师范大学

学位级别：硕士

本论文主要利用Hirota双线性方法来研究孤子方程的若干问题,特别是精确求解问题.内容主要涉及:构造和求解变系数KP方程及其可积性,如双线性B(?)cklund变换、非线性叠加公式等;推导变系数KP方程多孤子解的Wronskian和Grammian行列式表示... 详细信息

本论文主要利用Hirota双线性方法来研究孤子方程的若干问题,特别是精确求解问题.内容主要涉及:构造和求解变系数KP方程及其可积性,如双线性B(?)cklund变换、非线性叠加公式等;推导变系数KP方程多孤子解的Wronskian和Grammian行列式表示;推广Hirota方法,研究几类波动方程新的精确解-周期波解.求解孤子方程的精确解一直是孤子理论中非常重要的问题.本文的研究从解的Hirota形式、Wronskian和Pfaffian等多种表示形式到精确解的推导两个方面着手,充分说明了双线性方法是孤子方程精确求解的强有力工具.又将Hirota双线性方法,Wronskian技巧与B(?)cklund变换等求解方法的多样性和孤子方程的统一性有机地联系在一起,从而挖掘出更多的孤子本质属性.主要工作具体如下:(一).第二章首先给出双线性微分算子的定义及其基本性质.其次详细推导变系数KP方程Hirota形式的N-孤子解.然后构造变系数KP方程的双线性B(?)cklund变换、非线性叠加公式和Lax对.(二).第三章首先介绍孤子方程的Wronskian形式解,其中包括Wronskian的有关性质和推导变系数KP方程的Wronskian行列式解.其次给出关于Pfaff式的基本性质,并求解变系数KP方程的Grammian行列式解,其证明过程中的解是由Grammian型的Pfaffian表示.(三).第四章分为三个部分,第一部分推广Hirota方法,以Boussi-nesq方程作为例子详实地介绍如何求得其新的精确解-周期波解,并以图示分析研究Boussinesq方程周期波解的一些性质;第二部分用同样的方法得到(2+1)维Boussinesq方程的周期波解,并通过长波极限法求得其有理解;最后部分是总结与讨论.

关键词：孤子双线性方法可积性周期波解

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基于加权双线性方法的带约束自定位算法

计算机工程 2016年第4期42卷 70-74页

作者：高雪彭力江南大学物联网工程学院江苏无锡214122

针对无线传感器网络中无锚节点与传感器节点无法互相通信的应用场景,提出一种节点自定位算法。引入信号源,使传感器节点可接收到信号源发射的信号,根据信号从信号源到传感器节点的传播时间获得两者间的观测距离,将观测方程线性化表示为... 详细信息

针对无线传感器网络中无锚节点与传感器节点无法互相通信的应用场景,提出一种节点自定位算法。引入信号源,使传感器节点可接收到信号源发射的信号,根据信号从信号源到传感器节点的传播时间获得两者间的观测距离,将观测方程线性化表示为矩阵线性相乘的形式,对其中的距离矩阵采用奇异值分解(SVD)实现传感器节点的初始定位。为了消除自定位问题固有的平移、伸缩、旋转,引入位置约束,并考虑观测噪声的统计特性及其对SVD引起的扰动,再次对代价函数线性化后采用加权最小二乘估计实现对传感器节点初始定位的校正。仿真结果表明,该算法比仅使用最小二乘估计的自定位算法具有更高的定位精度。

关键词：无线传感器网络传播时间双线性方法位置约束全局坐标系加权最小二乘估计

两个广义AKNS方程族的反散射变换与双线性方法

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两个广义AKNS方程族的反散射变换与双线性方法

作者：高绪冬渤海大学

学位级别：硕士

构造非线性微分方程族和多孤子解在孤立子理论中是一个非常值得探索的研究课题,无论在理论上还是应用中均具有重要意义。反散射方法和双线性方法是求解非线性偏微分方程的两个主要方法,其中反散射方法理论性强但可以求解整个方程族,而... 详细信息

构造非线性微分方程族和多孤子解在孤立子理论中是一个非常值得探索的研究课题,无论在理论上还是应用中均具有重要意义。反散射方法和双线性方法是求解非线性偏微分方程的两个主要方法,其中反散射方法理论性强但可以求解整个方程族,而双线性方法是一个直接的代数方法但方程不易双性化。本文基于AKNS方程族构造出两个新的广义AKNS方程族,然后通过反散射方法和双线性方法求其多孤子解。求解过程启示反散射方法和双线性方法具有一定的联系。本文的主要成果概括为:首先,第二章推导出两个新的广义AKNS方程族。一方面通过引入系数函数将谱参数进行推广,从而使AKNS方程族所对应的线性谱问题更具有一般性,由此构造出第一类新的广义混合谱AKNS方程族。另一方面通过引入系数函数将谱问题时间发展式中的非线性项进行推广,从而构造出了第二类新的广义非等谱AKNS方程族。其次,第三章将反散射方法推广应用于第二章所推导的两个新的广义AKNS方程族。具体地说,先对这两类广义AKNS方程族进行正散射分析,然后借助于平移变换求出散射数据,再通过反散射变换和GLM方程求得这两类AKNS方程族的新多孤子解。最后,第四章通过采取适当的变换将第二章所推导的两个新的广义AKNS方程族化成双线性形式,进而得以求解这两类广义AKNS方程族,获得与第三章用反散射变换方法求得相同的新单孤子解、双孤子解,并归纳出多孤子解的一般形式表达式。同时,通过求解过程的比较得知反散射方法和双线性方法具有一定的联系。双线性方法求解方程族一般来说很难解决,但反散射方法求得的解能为双线性方法提供启发。

关键词：精确解双线性方法反散射变换方法混合谱AKNS方程族非等谱AKNS方程族

达布变换和双线性方法在非局域非线性方程中的应用

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达布变换和双线性方法在非局域非线性方程中的应用

作者：段超男沈阳师范大学

学位级别：硕士

在很多自然现象中,非局域性是一种常见的现象。一些理论分析和数值模拟表明,非局域性能够消除波的坍塌,极大地改善暗孤子之间的相互作用。目前,利用达布变换和双线性方法已经得到了许多局域非线性方程的解,但利用达布变换和双线性方法... 详细信息

在很多自然现象中,非局域性是一种常见的现象。一些理论分析和数值模拟表明,非局域性能够消除波的坍塌,极大地改善暗孤子之间的相互作用。目前,利用达布变换和双线性方法已经得到了许多局域非线性方程的解,但利用达布变换和双线性方法去求解非局域方程的研究比较少。本文将针对这一问题做如下研究:在第二章中,我们主要用达布变换求解了具有自诱导PT对称的非局域非线性Schr?dinger方程。在Lax对之间的规范变换的辅助下导出了非局域非线性Schr?dinger方程的N重达布变换。最后得到了一些新的精确解,其中包括亮孤子波解、呼吸波解。特别地,在本章中给出了一孤子解、两孤子解、三孤子解的动态特性和两个孤子之间的弹性相互作用。最近,广义非局部非线性Hirota方程已经得到了广泛的关注,它可以看作非局域薛定谔方程的推广,并且可以归结为非局域Hirota方程。因此在本章中,我们还研究了一个广义非局域非线性Hirota方程以及它的N阶达布变换的行列式表示。然后我们给出了一些新的精确解,包括呼吸波孤子、亮孤子、以及孤立波的一些特性和相互作用。其次,1孤子解和2孤子解的动力学特征以及两个孤子解之间的弹性相互作用被显示出来。我们发现非局域方程与局域方程不同的情形,广义非局部非线性Hirota方程中的q(x,t)和q(-x,t)有一些孤立波的新特征,这是不同于经典的Hirota方程。在第三章中,首先我们探究了非局域复可积mKdV方程的双线性形式,通过使用双线性方法得到非局域复可积mKdV方程的一孤子解和二孤子解。再选取适当的参数,使用maple软件画出方程的精确解。其次,我们还探究了变系数的非局域可积薛定谔方程的双线性形式,求得它的一孤子解和二孤子解。具体地,我们经过一个非标准化的过程,成功地将具有任意时变线性势的广义非局域Gross-Pitaevskii(NGP)方程双线性化,给出了更一般的亮孤子解,它描述了准一维波色-爱因斯坦凝聚中孤子解的动力学。在一些合理的假设下,利用改进的Hirota方法对一个亮孤子解和两个亮孤子进行了解析构造。从规范等价性可以看出非局域变系数薛定谔方程解与局域变系数薛定谔方程解的区别。

关键词：非局域非线性Schr?dinger方程 Hirota方程双线性方法非局域可积mKdV方程达布变换

Hirota双线性方法在孤立子方程求解中的应用

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Hirota双线性方法在孤立子方程求解中的应用

作者：张增辉山东科技大学

学位级别：硕士

本文研究的内容主要包括三个方面：Hirota双线性方法、孤子方程的Wronski行列式解和孤子解的Pfaff式表示.第一章简要介绍了孤立子的研究历史和求解方法.第二章在介绍了双线性方法的基本内容后,主要运用双线性简化方法求解了KdV方程、KP... 详细信息

本文研究的内容主要包括三个方面：Hirota双线性方法、孤子方程的Wronski行列式解和孤子解的Pfaff式表示.第一章简要介绍了孤立子的研究历史和求解方法.第二章在介绍了双线性方法的基本内容后,主要运用双线性简化方法求解了KdV方程、KP方程和势KdV方程,并给出了KdV方程和KP方程的新的孤子解,然后借助Maple软件绘出了各自新单孤子解的图形.第三章,首先介绍了Wronski行列式的定义和相关性质,然后给出了势KdV方程Wronski行列解的证明.第四章,首先介绍了Pfaff式的定义和相关性质及行列式和Wronski行列式的Pfaff式表示,接着利用双线性方法求出了势KdV方程的孤子解,最后给出了N-孤子解的Pfaff式表示的证明.

关键词：非线性发展方程双线性方法孤立子解双线性简化方法 Wronski行列式 Pfaff式

基于双线性方法对Ivancevic金融数学模型孤子解的研究

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基于双线性方法对Ivancevic金融数学模型孤子解的研究

作者：汪召兵浙江科技学院

学位级别：硕士

2019年末新冠肺炎疫情相继在世界各地爆发,经济社会普遍遭受重创,类似重大突发性事件对金融市场的影响尤其明显,美国股市更是出现罕见的四次熔断。重大不确定性灾害与风险对经济社会的冲击促使人们愈加重视金融数学领域的研究,Black-Sch... 详细信息

2019年末新冠肺炎疫情相继在世界各地爆发,经济社会普遍遭受重创,类似重大突发性事件对金融市场的影响尤其明显,美国股市更是出现罕见的四次熔断。重大不确定性灾害与风险对经济社会的冲击促使人们愈加重视金融数学领域的研究,Black-Scholes期权定价模型的提出为各种金融量化工具的发展与创新提供理论基础。孤子理论广泛应用于行为经济学,金融数学等非线性科学领域,非线性模型中寻找孤子解是一项重要课题。本篇论文通过探究几类经典的金融数学模型,引入Ivancevic期权定价模型,基于双线性方法证明了Ivancevic期权定价模型不仅存在怪波解,一定情况下同样存在孤子解,推导出模型的单双孤子解并做出解的动态特征。这为双线性方法双线性化、求解其他类非线性波动方程提供了思路,也为金融市场提供一种资产价格波动的描述机制。论文创新之一,利用Ivancevic期权定价模型的特殊结构,在改变两个参数的条件下,使用双线性方法将其转化为双线性形式求解,这种求解方式相较于其他数学方法更为简便;创新之二,用控制变量法选择多组参数,结合多组图像展示了Ivancevic期权定价模型孤子解的动态特征,给出了模型参数的具体意义。

关键词：孤子解怪波解 Hirota导数双线性方法 Ivancevic期权定价模型

基于双线性和动力系统方法的非线性发展方程的解析研究

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基于双线性和动力系统方法的非线性发展方程的解析研究

作者：饶柯北京邮电大学

学位级别：硕士

非线性科学是研究非线性问题共性的一门新的交叉学科,是自然科学领域中的一门学科。我们所研究的非线性发展方程主要是源于流体力学、等离子体物理、非线性光学、凝聚态物理、生物学等领域。如今,许多方法被应用于各类非线性发展方程的... 详细信息

非线性科学是研究非线性问题共性的一门新的交叉学科,是自然科学领域中的一门学科。我们所研究的非线性发展方程主要是源于流体力学、等离子体物理、非线性光学、凝聚态物理、生物学等领域。如今,许多方法被应用于各类非线性发展方程的求解中,例如反散射法、Backlund法、Darboux变换法,Hirota双线性法、Painleve分析法、几何分支理论以及同宿呼吸子极限法等等。本文正是以非线性发展方程的理论为基础,运用Hirota双线性法、Painleve分析法、几何分支理论和同宿呼吸子极限法,借助计算机符号计算研究几个非线性发展方程,获得其解析解,并进一步研究其解的基本性质。本文的内容安排如下：(1)运用几何分支理论和动力系统定性理论研究了一个带克尔项的非线性Schrodinger方程,该方程描述光波在非线性光纤中的传输过程。通过行波变换,我们将偏微分方程转化为常微分方程,画出轨线图,判别解的类型,得到孤波解和椭圆函数周期解。(2)其次,研究了耦合修正Korteweg-de Vries方程组,该方程组描述了水波在传输过程中的相互作用。处理耦合修正Korteweg-de Vries方程组,通过两次行波变换,化为常微分系统,并进行定性理论分析。在不同的参数下,我们得到六组轨线图,根据轨线图的性质,得到孤波解和椭圆函数解。此外,运用扩展的椭圆函数法,得到新的椭圆函数解。(3)最后本文研究了一种特殊的水波——畸形波。研究了(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程和(1+1)维对称正则长波方程,在Hirota双线性方法的基础上,借助符号计算,运用同宿呼吸子极限法,求得方程呼吸子解,进一步分析得到方程的畸形波解。综上所述,本文主要结合解析方法和计算机符号计算,跨学科地分析了在光通信和流体力学等领域中具有重要研究价值的一些非线性发展方程,包括对它们的解的性质的研究。本文中用到的研究方法,也可以应用到其它耦合及高阶非线性模型的研究上。另外,对于文中得到的研究结果,希望能为相关领域的研究提供一些理论上的帮助。

关键词：非线性发展方程分支理论孤子解 Jacobi椭圆函数双线性方法畸形波

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可积模型中孤子相互作用的研究

物理学报 2001年第3期50卷 369-376页

作者：阮航宇宁波大学物理系

从可积模型的双线性形式出发 ,可以得到关于方程场变量或某种势所存在的所有方向都是指数局域的dromion解或除一个方向外指数衰减的“Solitoff”解 .以 (1+ 1)维和 (2 + 1)维KdV类型方程为例 ,对孤子 (dromions或“Solitoff”)间的相互... 详细信息

从可积模型的双线性形式出发 ,可以得到关于方程场变量或某种势所存在的所有方向都是指数局域的dromion解或除一个方向外指数衰减的“Solitoff”解 .以 (1+ 1)维和 (2 + 1)维KdV类型方程为例 ,对孤子 (dromions或“Solitoff”)间的相互作用进行了详细的研究 ,发现孤子间的相互作用规律与方程的维数和类型无关 .只要方程的多孤子解形式符合Hirota标准形式 (所有耦合系数均不为零 ) ,孤子之间的碰撞是弹性的。

关键词：可积模型孤子相互作用双线性方法 Kdv方程 ANNV方程

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尘埃等离子体中的分数阶模型及其Lump解

物理学报 2019年第21期68卷 15-25页

作者：孙俊超张宗国董焕河杨红卫山东科技大学数学与系统科学学院青岛266590 齐鲁工业大学数学与统计学院(山东省科学院) 济南250353

近年来,尘埃等离子体的研究在太空、工业和实验室等领域中有着重要的作用.该文从双温尘埃等离子体的控制方程组出发,通过运用多尺度分析与约化摄动方法,推导了(2+1)维的Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程来描述双温尘埃等离子体声波的传播... 详细信息

近年来,尘埃等离子体的研究在太空、工业和实验室等领域中有着重要的作用.该文从双温尘埃等离子体的控制方程组出发,通过运用多尺度分析与约化摄动方法,推导了(2+1)维的Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程来描述双温尘埃等离子体声波的传播.接下来,利用半逆方法和分数变分原理,将(2+1)维KP方程推广到时空分数阶KP方程;分数阶KP方程对于描述实际问题中的物理现象具有潜在的应用价值.进一步,基于李对称分析方法,讨论了时间分数阶KP方程的守恒律,得到了双温尘埃等离子体声波的守恒量.最后,基于双线性方法,获得了分数阶KP方程的Lump解.该解的存在说明双温尘埃等离子体中存在怪波,特别地,分析了分数阶阶数对怪波的影响.

关键词：尘埃等离子体分数阶Kadomtsev-Petviashvili方程双线性方法 Lump解