常微分方程反演的机器学习方法研究

作     者：付长铠 

作者单位：长春工业大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘铭

授予年度：2024年

学科分类：12[管理学] 1201[管理学-管理科学与工程(可授管理学、工学学位)] 07[理学] 081104[工学-模式识别与智能系统] 08[工学] 0835[工学-软件工程] 070102[理学-计算数学] 0811[工学-控制科学与工程] 0701[理学-数学] 0812[工学-计算机科学与技术（可授工学、理学学位）] 

主      题：常微分方程反演 深度神经网络 非自治常微分方程 自治常微分方程 多步神经网络 

摘      要：本文针对常微分方程的反演问题,设计并构建了一种基于深度神经网络的常微分方程反演算法,开展了算法设计、算法性质证明和相关数值实验等方面的研究,主要包括: (1)设计并改进了一种基于多步神经网络的非自治常微分方程的反演算法 把用于自治常微分方程反演的基于线性多步法的多步神经网络进行改进,优化了多步神经网络的损失函数和训练数据形式,将非自治常微分方程转变为自治常微分方程的形式,利用神经网络对原方程中的函数进行拟合,以实现从数据中提取内含的非自治常微分方程,并介绍了改进算法的误差界。 (2)将改进的算法拓展应用于自治常微分方程 将改进的非自治常微分方程的反演算法拓展应用于自治常微分方程,使用改进算法的损失函数和训练数据形式,利用神经网络对原方程中的函数进行拟合,实现从数据中提取内含的自治常微分方程。 (3)数值实验 将数据加上不同强度的噪声,使用本文的改进算法与多步神经网络对几类非自治和自治常微分方程进行反演。对训练得到的方程求解得到数值解,计算数值解和真实解之间的均方误差和平均绝对误差;将数值解代入训练得到的方程得到的导数的近似值,将代入给定的常微分方程中的得到导数的真实值,计算近似值与真实值之间的均方误差和平均绝对误差。结果表明本文的改进算法对原方程中函数的泛化误差小于多步神经网络,从而验证了改进算法的泛化能力和鲁棒性。