非凸-非凹鞍点问题的邻近点算法研究

作     者：蒋源鑫 

作者单位：重庆交通大学 

学位级别：硕士

导师姓名：李小兵

授予年度：2023年

学科分类：02[经济学] 0202[经济学-应用经济学] 020208[经济学-统计学] 07[理学] 0714[理学-统计学（可授理学、经济学学位）] 070103[理学-概率论与数理统计] 0701[理学-数学] 

主      题：鞍点问题 极小极大优化问题 邻近点算法 强拟凸性 强拟凹性 

摘      要：鞍点问题在数学规划和博弈论的研究中占有非常重要地位.它为极大极小问题、拉格朗日对偶问题、变分不等式、Nash均衡问题的研究提供了有效的表述形式和基本工具,并在优化算法,博弈论,数学规划,机器学习等领域有广泛应用.本文一方面研究了目标函数在拟凸-拟凹的情况下鞍点问题解存在且解集为闭集的充分条件.另一方面提出了一种新的邻近点算法,以求解非凸-非凹鞍点问题,并具有更快的收敛速度和更小的误差.本文主要成果如下:1.首先介绍了鞍点问题及其优化算法的研究意义与发展概况,以及近年来国内外学者关于鞍点问题解集存在性研究与相关优化算法所取得的具体成果,并阐述了本文的选题动机和主要研究工作.2.通过引入了渐进函数和一致性的相关概念,将学者Karamardian通过对目标函数的拟凸-拟凹假设,得到了解集为紧凸集时鞍点问题解的存在性,推广到了解集为闭凸集时解的存在性.3.我们对经典的邻近点算法的迭代进行了研究,在考虑平均迭代点的情况下,通过适当的假设,得到了相关的收敛性结论.4.提出了一种新的邻近点算法,以求解强拟凹-强拟凸鞍点问题,并在适当的假设下,进行了收敛性分析,确保该邻近点算法针对非凸-非凹鞍点问题生成的序列,能收敛到唯一的Nash均衡点,并通过数值实验来展示算法的有效性.最后,针对全文,我们做了一个简要的总结和讨论.