带阻尼项不可压缩流的并行grad-div稳定有限元算法

作     者：蒋晔 

作者单位：西南大学 

学位级别：硕士

导师姓名：尚月强

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Stokes方程 Navier-Stokes方程 阻尼项 grad-div稳定 有限元 并行算法 区域分解 

摘      要：带阻尼项的Stokes和Navier-Stokes方程是地球物理学和海洋声学研究的主要系统之一,广泛应用于流体运动阻力问题,其研究在流体力学中具有十分重要的作用.然而在现代科学和工程计算中,通常存在两个问题:一是由于流体流动区域的复杂性,使得使用传统数值方法有着求解规模大和计算机内存需求大的问题;二是在模拟速度-压力耦合不可压缩流问题时,经典的有限元方法压力对速度精度有很大影响,在黏性系数较小时通常会导致速度模拟效果不佳.因此,设计出计算高效且速度精度高的数值方法对模拟带阻尼项不可压缩流问题有着至关重要的作用.对于第一个问题,我们应用高效的并行计算方法来处理,以实现不可压缩流的大规模数值模拟;对于第二个问题,我们运用grad-div稳定方法来增加压力鲁棒性,减小压力对速度精度的影响.基于grad-div稳定化方法和完全重叠区域分解技术,本文研究了带阻尼项Stokes和Navier-Stokes方程的并行grad-div有限元算法.在该类算法中,每个处理器在其指定的子域中使用一个多尺度网格来计算一个局部解,该类多尺度网格围绕其子区域进行局部细化.由于在计算过程中处理器之间没有信息传递,借助现有的求解器,易于实现,通信需求低.我们利用grad-div稳定有限元解的局部先验估计理论工具,推导了该算法得到的速度和压力近似解的最佳误差界,以及取得最优收敛阶时粗细网格尺寸的选取.我们编写有限元并行程序,用提出的方法计算已知解析解、后台阶流问题、前台阶流问题和方腔驱动流问题,并与串行grad-div有限元方法和不加grad-div稳定项的并行算法来作比较,数值结果验证了理论分析的正确性、添加grad-div稳定项的必要性和所提出算法的高效性.一方面,与没有运用grad-div稳定化方法的并行有限元算法相比,我们提出的算法可以显著降低压力对近似速度的影响,因此,在粘性系数较小的情况下,可以获得更好的近似速度.另一方面,与串行grad-div有限元方法相比,并行grad-div有限元算法在获得具有可比精度的近似解的情况下,可以节约大量的计算时间.