预李代数的扩张理论

作     者：马庆丰 

作者单位：吉林大学 

学位级别：硕士

导师姓名：宋丽娜

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：预李代数 非交换扩张 非交换上同调 李2-代数同态 Maurer-Cartan元 

摘      要：本文研究了预李代数的扩张理论.首先我们通过预李代数的非交换上同调对预李代数的非交换扩张进行分类.其次我们利用预李代数的双乘子自然地构造出了一个严格的李2-代数,进而证明了预李代数的非交换扩张自然地产生了一个邻接李代数到由双乘子构造的严格李2-代数的同态,并且预李代数的非交换扩张的同构类一一对应于上述同态的同伦类.最后,我们通过微分分次李代数的Maurer-Cartan元对预李代数的非交换扩张进行了分类,并给出了一个具体的例子来计算预李代数的非交换上同调.全文共分为六章.在第一章中,我们介绍了研究课题的背景及其进展,然后介绍了本文的研究动机和主要结果.在第二章中,我们回顾了李代数、预李代数、邻接李代数、预李代数的表示等相关概念,给出了预李代数的中心扩张与交换扩张的概念,并证明了(g⊕ η,＊(ρ,μ,ω))是预李代数的等价条件是(η;ρ,μ)是g的一个表示,且ω是该表示下的2阶闭链.在第三章中,我们给出了预李代数的非交换扩张的定义,定义了预李代数的非交换上同调,并证明了预李代数的非交换扩张可以通过非交换上同调进行分类.在第四章中,我们定义了预李代数的双乘子,并利用预李代数的双乘子构造了一个严格李2-代数.证明了预李代数的非交换扩张自然地产生了一个邻接李代数到由双乘子构造的严格李2-代数的同态,并且预李代数非交换扩张的同构类一一对应于上述同态的同伦类.在第五章中,我们通过微分分次李代数的Maurer-Cartan元对预李代数的非交换扩张进行了分类.在第六章中,我们对本文进行了一个简要的总结,并给出了一个具体的例子来计算预李代数的非交换上同调.