自适应内嵌物理知识神经网络在贝叶斯反问题中的应用研究

作     者：李勇超 

作者单位：东南大学 

学位级别：硕士

导师姓名：闫亮;杨明

授予年度：2022年

学科分类：12[管理学] 02[经济学] 07[理学] 08[工学] 070103[理学-概率论与数理统计] 0202[经济学-应用经济学] 020208[经济学-统计学] 1201[管理学-管理科学与工程(可授管理学、工学学位)] 081104[工学-模式识别与智能系统] 0835[工学-软件工程] 0714[理学-统计学（可授理学、经济学学位）] 0811[工学-控制科学与工程] 0701[理学-数学] 0812[工学-计算机科学与技术（可授工学、理学学位）] 

主      题：PINNs 贝叶斯推断 反问题 自适应 偏微分方程 

摘      要：贝叶斯反问题在医学成像、国防军事、工业设计等实际工程领域有着广泛而重要的应用。但由于问题的复杂性,求解此类反问题往往需要反复求解偏微分方程模型来获得后验解的相关信息,造成求解实际问题时需要消耗大量的计算时间。针对贝叶斯反问题设计快速有效的求解方法在实际应用中具有重要的意义。本论文将结合内嵌物理知识神经网络(Physics-informed neural networks:PINNs)设计基于代理模型的快速贝叶斯实现方法来提高计算效率。在具体的算法实现中,我们根据贝叶斯反问题对应后验分布具有局部集中的特点设计自适应算法。首先通过训练使PINNs在参数的先验分布上有粗略但全面的近似。并针对不同的方程对PINNs模型采用自适应选点、自适应权重、小批量训练等手段,提高PINNs模型的精度。然后在线上反演时采用两种不同的网络架构,并通过自适应选择训练数据集来更新网络参数。具体地,第一种架构是利用迁移学习对PINNs后面几层网络微调,第二种是搭建混合多保真神经网络来学习观测位置上PINNs的预测值到真实值的映射。两种算法将PINNs作为初始代理模型,减少对偏微分方程的高精度求解次数,降低运算成本。同时PINNs学习了位置信息,当观测位置发生变化时,之前模型保存的知识仍然可以使用。在数值实验中,我们针对三类不同模型,将本文提出的算法与传统方法进行对比,验证了方法的准确性以及高效性。数值结果表明,新的格式在保证数值精度的同时,可大幅提高计算效率。