两类高阶分数差分方程初值问题解的存在唯一性

作     者：王欢 

作者单位：安徽大学 

学位级别：硕士

导师姓名：王良龙

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：分数阶和分 分数阶差分方程 不动点定理 初值问题 和分方程 

摘      要：整数阶差分方程理论在自然科学有着广泛的应用,如动力学系统和工程控制领域.分数阶差分方程理论的研究基于定义的分数阶和分算子与分数阶差分算子,研究离散变量的分数阶系统,并且分数阶和分算子的定义是通过把整数阶和分算子推广而得到,这使得求解分数阶系统容易实现.分数阶差分方程一般可以通过两种方法得到,一方面,把分数阶微分方程离散化;另一方面,由实际问题建立方程.开展分数阶差分方程的理论研究具有实际意义.定义向后的分数阶差分算子,本文研究两类高阶分数差分方程初值问题解的存在唯一性.主要内容如下:第一章是绪论部分,阐述该领域的研究背景和研究进展.第二章研究高阶R-L型分数差分方程的初值问题.主要结果有:第一,根据分数阶和分与R-L型分数阶差分的定义,推导出若干相关的运算性质;第二,使用Banach不动点定理,在合适的条件下,证明出阶数α∈(1,2)分数阶非线性R-L型差分方程初值问题解的存在唯一性;第三,将Lipschitz条件推广后,在合适的条件下,通过构造离散函数序列,使用迭代法,证明出阶数α∈(1,2)分数阶非线性R-L型差分方程初值问题解的存在唯一性;第四,由Lipschitz条件,确定出阶数α∈(1,2)分数阶线性R-L型差分方程初值问题满足解存在唯一性的系数条件.第三章研究高阶Caputo型分数差分方程的初值问题.依据提出的阶数α∈(2,3)分数阶Caputo型非线性和线性初值问题,依次提出了三种问题条件下解的存在唯一性定理,采用Banach不动点定理、逐次迭代法和Lipschitz条件三种方法证明.第一,首先利用分数阶和分与Caputo型分数阶差分的定义与运算性质,把阶数α∈(2,3)分数阶Caputo型非线性初值问题转化为一个等价的和分方程,构造完备的距离空间,然后定义一个抽象的解算子,采用压缩映像不动点定理,经运算得出解的存在唯一性的系数条件.第二,根据阶数α∈(2,3)分数阶Caputo型非线性初值问题等价的和分方程形式下,采用与第二章类似的研究过程,确定了Lipschitz条件推广后阶数α∈(2,3)分数阶非线性初值问题解的存在唯一性的系数条件.第三,由Lipschitz条件,确定出阶数α∈(2,3)分数阶线性Caputo型差分方程初值问题满足解存在唯一性的系数条件.第四章结合第二章和第三章的理论知识,列举了几个具体的分数阶差分方程初值问题,通过验证方程解的存在唯一性和运用分步法求解方程,说明本文所得结果的合理性与可操作性.