三角形求积元在高阶梁板理论中的应用

作     者：孟祥成 

作者单位：大连理工大学 

学位级别：硕士

导师姓名：徐嘉

授予年度：2022年

学科分类：08[工学] 081304[工学-建筑技术科学] 0813[工学-建筑学] 

主      题：弱形式求积元法 三角形单元 高阶梁板理论 

摘      要：传统计算方法中对于厚度较大的结构由于剪切变形理论的不统一,以及传统方法自身的不足,在求解高阶大单元大变形上并不可靠,精度和效率都不令人满意,尤其是低阶方法(如有限元法)中常遇到的闭锁问题更令其不能作为准确方法来直接来指导计算,可靠的用于实际工程。由钟宏志提出,将数值积分和微分求积法结合起来求积元法作为弱形式求解微分方程方法中的一种在多个计算分析领域展现出来良好的应用前景,不仅拥有传统有限元方法的优点,而且由于自身高阶方法特性,能够很好地应对高阶大单元模型,避免闭锁现象,降低计算规模。同时Reddy及Kant提出的高阶梁板理论在之前的研究中展现出了相较于传统计算方法的优越性。因此本文将高阶梁板理论引入到求积元法中,对该理论与求积元法的结合应用做出了一些探索,主要内容包括:1、高阶梁理论下的三角形求积元法。比较了高阶梁理论与传统理论的不同,将Reddy高阶梁理论假设引入到我们的求积元法中,经过公式推导处理,建立对应的静力和振动问题的计算格式,选取了典型梁问题的算例,将结果与高阶梁文献解进行对比,实现了对二维梁的计算,同时研究了不同网格划分方式及不同积分阶数对于结果的影响。2、三阶剪切变形板理论下的三角形求积元法。这一部分作为文章重点,首先分析了高阶板理论与传统低阶理论的不同,随后通过三阶剪切变形板理论假设成功推导出较为复杂的高阶板理论下的三角形求积元法的静力和振动计算格式,在静力计算部分选取了典型方板与非典型椭圆板作为算例来进行理论验证,在振动计算部分除方板计算外还对椭圆板设置了随机振动网格来提高计算难度,获得了较为不错的计算结果,进一步明确了高阶模型的应用范围。3、基于Kant三阶板理论的三角形求积元法。在这一部分我们引入了在三个维度上都采用高阶拟合的Kant三阶板理论,本意是希望通过这个三个自由度方向上都使用高阶拟合的理论来建立三维计算格式,同时对于厚板达到更好的计算结果,事实却事与愿违,虽然在振动方面拟合较好,但在挠度方面收敛和计算效果都没能达到令人满意的结果,同时也耗费了不成比例的计算时间成本。一方面是由于通过该理论建立的求解格式并非真正意义上的三维求解,为了简化格式仍然提前对厚度方向进行积分,本质上仍然是一个二维方法,另一方面由于厚板理论的不统一,并没有一种理论能够得到可靠解。所以想要建立真正的三维求积元格式需要建立一个真正的三维局部坐标系,进行三维网格划分来求解。这里为将来该计算格式的进一步完善提供了参考和探索。