分数阶微分方程和差分方程解的性质的研究
作者单位：河北师范大学
学位级别：硕士
导师姓名：李巧銮
授予年度：2022年
学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学]
主 题：分数阶微分方程 分数阶差分方程 存在性 不动点 Green函数
摘 要：分数阶微积分是任意阶微分和积分的理论,是整数阶微积分的推广.与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程建立的数学模型更加贴近实际情况.相对而言,分数阶差分方程理论的研究较晚,但由于它在医学及物理学等领域的广泛应用,最近几年也取得了很大的发展.本文将研究几类分数阶微分方程和差分方程解的存在性及唯一性.论文主要分四章.第一章概述分数阶微分方程和差分方程的相关理论以及本文用到的相关定义.第二章考虑分数阶nabla差分方程边值问题.运用Z变换得到线性的nabla差分方程的特征值和特征函数.再利用拓扑度理论和特征值,得到相应的非线性分数阶边值问题解存在的充分条件.第三章讨论混合分数阶边值问题解的存在唯一性及Lyapunov型不等式.根据分数阶微积分的性质,将带有右Riemann-Liouville和左Caputo的分数阶导数的微分方程转化为积分方程,得到Green函数,进而得到线性分数阶微分方程的Lyapunov型不等式.最后使用关于α-ψ-压缩映射的不动点定理以及Banach压缩映射原理,研究非线性方程解的存在性和唯一性.第四章研究Atangana-Baleanu分数阶微分方程无穷多点边值问题解的性质.利用Atangana-Baleanu分数阶微分和积分的定义,得到方程解满足的积分方程.构造算子将解的存在问题转化为不动点问题,再利用不动点理论探讨方程解的存在性及唯一性.最后分析了该问题的Hyers-Ulam稳定性.
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