带有临界和超临界增长项Kirchhoff型方程解的存在性

作     者：梁文国 

作者单位：山西大学 

学位级别：硕士

导师姓名：李福义

授予年度：2021年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Kirchhoff型方程 迭代技术 极小极大原理 变分方法 局部非线性项 

摘      要：非线性偏微分方程作为现代数学中的一个重要分支,来源于自然科学及工程领域中出现的理论或实际问题.随着对客观事实的分析,学者们将自然现象抽象为数学模型.Kirchhoff型方程作为非线性偏微分方程中重要的一类方程,其解的存在性一直受到学者们的广泛关注.本文通过变分方法,极小极大原理,截断技术以及迭代技术等方法讨论Kirchhoff型方程解的存在性.本文分为三章.第一章,我们介绍Kirchhoff型方程的研究背景及现状.第二章,在R3中考虑带有Kirchhoff型扰动的拟线性方程(1+∫R3g2(u)|▽u|2)[-div(g2(u)▽u)+g(u)g’(u)|▽u|2]+V(x)u=λ|u|p-2u+f(u),其中λ0是参数,p ∈(2,6),g:R →[0,∞)是偶函数,势函数V连续且非线性项f满足局部超线性条件,也就是(V1)V ∈ C1(R3)是径向对称函数,并且存在V0,V∞0,使得V0≤V(x)≤V∞,x ∈R3;(V2)|▽V(x)·x|≤1/(8|x|2),x ∈ R3\{0};(f1)f ∈ C(R),f(t)t≥ 0,t∈R,并且limt→0 f(t)/t=0.利用变分方法和Moser迭代技术等方法,得到如下定理.定理2.1.1设条件(V1),(V2)和(f1)成立,则对于充分大的λ,问题(2.1.1)存在一个非平凡解.第三章,考虑如下带有Hartree项和临界增长项的Kirchhoff型方程-(a+b ∫R3 |▽u|2)Δu+V(x)u+(Iα*|u|p)|u|p-2u=|u|4u+λf(u),x ∈ R3,其中a0,b≥0是常数,λ0是参数,势函数V ∈C(R3),Iα(x):=Γ((3-α)/2)-2απ3/2Γ(α/2)|x|3-α,x ∈R3\{0},α ∈(0,3),符号*表示R3上两个函数的卷积,p ∈[2,3).势函数V和非线性项f∈C1(R)满足(V)infx∈R3V(x)=V00,且对于任意给定的M0,存在r0使得(?)μ({x∈R3:|x-y|≤r,V(x)≤M})=0,其中μ(A)是A的勒贝格测度;(f1)存在q ∈[2,6)和C0,使得|f’(t)| ≤C(1+|t|q-2),t∈ R;(f2)limt→0f(t)/(|t|2(p-1)t)=0;(f3)函数f(t)/(|t|2(p-1)t)在t∈(-∞,0)上递减,在t∈(0,∞)上递增.利用限制变分方法和定量形变引理等方法,得到如下定理.定理3.1.1设条件(V)和(f1)-(f3)成立,则存在λ00,使得当λλ0时,问题(3.1.1)存在极小能量变号解.