期权标的波动率函数的反演算法

作     者：许鑫 

作者单位：上海财经大学 

学位级别：硕士

导师姓名：程晋

授予年度：2020年

学科分类：12[管理学] 02[经济学] 0202[经济学-应用经济学] 1201[管理学-管理科学与工程(可授管理学、工学学位)] 020204[经济学-金融学（含∶保险学）] 

主      题：Black-Scholes方程 隐含波动率 Dupire公式 Tikhonov泛函 Landweber迭代正则化 稀疏约束正则化 

摘      要：波动率是金融市场中衡量资产风险的一个非常重要的参数,是对标的资产未来风险结构的量化。在经典的Black-Scholes期权定价模型以及其他一些期权定价公式中,股票波动率的统计推断一直是一个热门课题。在Black-Scholes的理论框架下,波动率σ被假设成常数,然而许多实证研究结果表明,σ是依赖于标的资产价格S和时间t的,并且呈现“微笑,“倾斜等市场结构特征。很自然的,我们希望通过期权市场上的报价信息去重构标的资产的波动率,从而掌握资产的风险特征。这事实上是一个典型的偏微分方程反问题,需要通过正则化方法来求解。本文主要研究在经典的Black-Scholes方程以及Dupire公式的框架下用Landweber迭代正则化来稳定的反演方程中的波动率参数。这其中也包含了对正问题即期权定价进行精确的数值求解。不同于别的许多研究此问题的文献中所用的方法,如最优控制下的变分法,数值微分方法,线性化方法等,本文给出了一种新的方法来求解相关Tikhonov泛函的Fr′echet导数。用数值实验说明了这种方法的有效性。除此之外,本文考虑了波动率因为一些市场环境的变化发生了急剧跳跃的情形,这时若仍采用传统的带二次罚项的Tikhonov正则化方法会导致解的过度光滑,偏离实际。故本文采用稀疏约束正则化结合对偶Landweber迭代法就行求解,取得了不错的效果。